设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组 非齐次与齐次线性方程组的概念 1 5 行列式应用 1 1 5 克莱姆法则 定理1 5 1 克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式 即 那么线性方程组 有解 并且解是唯一的 解 可以表为 证明 在把 个方程依次相加 得 由代数余子式的性质可知 于是 当 时 方程组 有唯一的一个解 由于方程组 与方程组 等价 故 也是方程组的 解 齐次线性方程组的相关定理 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 仅有零解 定理 如果齐次线性方程组 有非零解 则它 的系数行列式必为零 有非零解 系数行列式 例1 用克拉默则解方程组 解 例2 问 取何值时 齐次方程组 有非零解 解 齐次方程组有非零解 则 所以 或 时齐次方程组有非零解 1 用克拉默法则解方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 2 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 小结 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默 法则解方程组 为什么 此时方程组的解为何 思考题解答 不能 此时方程组的解为无解或有无穷多解