第六章 推理与证证明 6 2 直接证证明与间间接证证明 6 2 1 直接证证明 分析法与综综合法 学习目标重点难点 1 理解综合法证明题的思考过程和推理 特点 学会运用综合法证明简单题目 2 理解分析法证明题的思考过程和推理 特点 学会运用分析法证明简单题目 3 能区分综合法 分析法的推理特点 以便正确选取适当方法进行数学命题 的证明 1 重点 理解综合 法和分析法的思考 过程和推论特点 2 难点 运用综合 法和分析法证明数 学问题 1 综合法 从命题的 出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过 推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完 成命题的证明 我们把这样一种思维方法称为综合法 条件 逻辑 温馨提示 1 综合法是一种由因索果的证明方法或者是说从题设到结 论的逻辑推理方法 有时也叫作由因导果法 执因索果 或顺推 证法 2 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表 示所要证的结论 则综合法可表示如下 P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q 3 综合法从条件推出结论 较简洁地解决问题 但不便于 思考 2 分析法 从求证的 出发 一步一步地探索保证前一个结论 成立的 条件 直到归结为这个命题的 或者归 结为 等 我们把这样一种思维方法称为分 析法 结论 充分 条件 定义 公理 定理 温馨提示 1 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题 的思路和方法 但思路逆行 叙述较繁琐 2 用分析法证明题时 过程必须遵循分析法的模式 不要 把结论当条件 而条件成了要证明的结论 3 分析法证明数学问题是 执果索因 而综合法证明数学 问题是 执因索果 两种方法对立统一 相辅相成 对较复杂 的问题往往先从结论进行分析 寻求结论与条件 基础知识之 间的关系 找到解决问题的思路 再利用综合法证明 或者在 证明时将两种方法交叉使用 综合法的应用 点评 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 由因导果 其逐步推理 实际上是寻找每一步的必要条件 如何找到 切 入点 和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键 思路点拨 条件和结论的联系不明确 考虑用分析法证明 将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式 分析法的应用 点评 分析法是 执果索因 一步步寻找结论成立的 充分条件 它是从求证的结论出发 逆着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 这种证明的方法关键在于需保证分析 过程的每一步都是可以逆推的 它的常见书写表达式是 要证 只需证 综合法和分析法的应用 点评 综合法推理清晰 易于书写 分析法从结论入 手 易于寻找解题思路 在实际证明命题时 常把分析法与综合 法结合起来使用 称为分析综合法 其结构特点如下 根据条 件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构 特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可推出Q 即可得证 2017 全国卷 已知a 0 b 0 a3 b3 2 求证 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 点评 解决本题的关键是通过重新组合构造出a3 b3 从而利用已知条件a3 b3 2 放缩法证明不等式是高考热点 也是难点 5 2017 江苏卷 已知a b c d为实数 且a2 b2 4 c2 d2 16 求证 ac bd 8 证明 由柯西不等式 得 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 a2 b2 4 c2 d2 16 ac bd 2 64 ac bd 8 1 综合法证题是从条件出发 由因导果 分析法是从结论 出发 执果索因 2 分析法证题时 一定要恰当地运用 要证 只需证 即证 等词语 3 在解题时 往往把综合法和分析法结合起来使用 4 分析法与综合法的优缺点 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法 两种方法各 有优缺点 分析法解题方向较为明确 容易寻找到解题的思路和 方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后用综合法有条理地表述解题过 程 活页作业 十九 谢谢观看