高中数学 必修3 湘教版 第2课时 柱 锥 台和球的体积 学习目标 1 了解柱 锥 台和球的体积计算公式 2 能够运用柱 锥 台 球的体积公式求简单几何体的体 积 3 会解决球的组合体及三视图中球的有关问题 知识链接 1 长 宽 高分别为a b c的长方体的表面积S 体积V 2 棱长为a的正方体的表面积S 体积V 3 底面半径为r 高为h 母线长为 l的圆柱侧面积S侧 表面积S 4 底面半径为r 高为h 母线长为 l的圆锥侧 面积S侧 表面积S 2 ab bc ac abc 6a2a3 2 rh 2 rh 2 r2 rl r2 rl 预习导引 柱 锥 台 球的体积 其中S S分别表示上 下底面的面积 h表示高 r 和r分 别表示上 下底面圆的半径 R表示球的半径 Sh 要点一 柱体的体积 例1 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积等于 答案 56 规律方法 1 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图 然 后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要 的数据 2 若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成 求几 何体的体积时 依据需要先将几何体分割分别求解 最 后求和 跟踪演练1 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则 该几何体的体积为 m3 答案 4 解析 此几何体是两个长方体的组合 故V 2 1 1 1 1 2 4 要点二 锥体的体积 例2 如图三棱台ABC A1B1C1中 AB A1B1 1 2 求三棱 锥A1 ABC 三棱锥B A1B1C 三棱锥C A1B1C1的体积 之比 规律方法 三棱柱 三棱台可以分割成三个三棱锥 分割后 可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系 割补法在立体几 何中是一种重要的方法 跟踪演练2 一个边长为 2的正三角形 绕它的对称轴旋转 180 如图所示 求所得几何体的体积 要点三 台体的体积 例3 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm 侧面 积是780 cm2 求正四棱台的体积 解 如图所示 正四棱台ABCDA1B1C1D1中 A1B1 10 cm AB 20 cm 取A1B1的中点 E1 AB的中点E 连结E1E 则E1E是侧 面ABB1A1的高 设O1 O分别是上 下底面的中心 连结O1O O1E OE 则四边形EOO1E1是直角梯形 规律方法 求台体的体积关键是求出上 下底面的面积和台 体的高 要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面 寻求相关量之间的关系 跟踪演练3 本例若改为 正四棱台的上 下两底的底面边 长分别为2 cm和4 cm 侧棱长为2 cm 求该棱台的体积 要点四 球的体积 例4 过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球的 半径的一半 且AB BC CA 3 cm 求球的体积和表面 积 解 如图 设过A B C三点的截面为圆O 连结OO AO AO AB BC CA 3 cm O 为正三角形ABC的中心 规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据 球 半径 截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形 是把空间问题转化为平面问题的主要方法 跟踪演练4 如果三个球的半径之比是1 2 3 那么最大球的 体积是其余两个球的体积之和的 A 1倍 B 2倍 C 3倍 D 4倍 答案 C 再见