第2讲二项式定理 考纲要求考点分布考情风向标 1 能用计数 原 理证明二项式 定理 2 会用 二 项 式 定理解决与二 项展开式有关 的简单问题 2011 年新课标 考查二项展开式 2013 年新课标 考查二项式系数 的最大值 2014 年新课标 考查二项式展开 式的特定项的系数 两项之和 2015 年新课标 考查二项式展开 式的特定项的系数 三项之和 2016 年新课标 考查二项展开式 的特定项的系数 2017 年新课标 考查二项展开式 的特定项的系数 高考对本节内容的 考查主要是二项式 展开式和通项的应 用 具体会涉及求 特定的项或系数 以及二项式系数等 问题 是高考的必 考点之一 但题目 较为 容易 多以选 择和填空题的形式 出现 1 二项式定理 N 所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n 的二项式展开式 2 二项式定理的特征 1 项数 二项式展开式共有 项 式中的第 r 1 项 3 二项式系数 二项式展开式第 r 1 项的二项式系数为 n 1 3 二项式系数的性质 2n C 2 2015 年福建 x 2 5 的展开式中 x2 的系数等于 用数字作答 80 用数字作答 考点 1 求二项展开式中待定项的系数或特定项 为 A 15B 20C 30D 35 答案 C 2 2017 年新课标 x y 2x y 5 的展开式中 x3y3 的系数 为 A 80B 40C 40D 80 答案 C 答案 10 4 2015 年新课标 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 A 10 C 30 B 20 D 60 答案 C 5 2014 年新课标 x y x y 8 的展开式中 x2y7 的系数 为 用数字填写答案 答案 20 规律方法 本题主要考查二项式定理及其运算求解能力 属于容易题 解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展 类问题可以分两步完成 第一步是根据所给出的条件 特定项 和通项公式 建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中 n 和 k 的隐含条件 即 n k 均为非负整数 且 n k 第二步 是根据所求的指数 再求特定项 考点 2 二项式系数和与各项的系数和 例 2 在 2x 3y 10 的展开式中 求 1 二项式系数的和 2 各项系数的和 3 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 4 奇数项系数和与偶数项系数和 5 x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 解 设 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各项系数和为 a0 a1 a10 奇数项系数和为a0 a2 a10 偶数项系数和为a1 a3 a5 a9 x的奇次项系数和为a1 a3 a5 a9 x的偶次项系数和为a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 赋值法 求出相关的系数和 4 令x y 1 得到 a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或 x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得 2 a0 a2 a10 1 510 奇数项系数和为1 5 10 2 得 2 a1 a3 a9 1 510 偶数项系数和为1 5 10 2 规律方法 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要 的方法 对形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展 开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令 x 1 即可 对形如 ax by n a b R 的式子求其展开式各项系数之和 只需令 x y 1 即可 互动探究 系数之和为 256 则常数项等于 112 为 2 则该展开式中常数项为 A 40B 20C 20D 40 答案 D 3 2017 年广东广州一模 3 x n 的展开式中各项系数和为 64 则 x3 的系数为 用数字填写答案 540 考点 3 二项式展开式中系数的最值问题 1 求 n 的值 2 求展开式中二项式系数最大的项 3 求展开式中系数最大的项 互动探究 为 A 4B 5C 6D 7 B 易错 易混 易漏 组合数公式的应用 思路点拨 1 根据组合数公式化简求值 2 设置 1 目的指向应用组合数性质解决问题 而组合数性 可视为关于 n 的等式 可结合数学归纳法求证 从求和角度看 左边式子可看作展开式 m 1 1 x m m 2 1 x m 1 n 1 x n 1 n 1 1 x n中含 xm 项的系数 再利用错位相减求 和得含 xm 项的系数 从而达到化简求证的目的 规律方法 本题从性质上考查组合数性质 从方法上考 查利用数学归纳法解决与自然数有关的命题 从思想上考查运 用算两次解决二项式有关模型 组合数性质不仅有课本上介绍 记忆 但要会推导 更要会应用 互动探究 5 已知 2 ax 1 2x 5 的展开式中 含 x2 项的系数为 70 则实数 a 的值为 A A 1B 1C 2D 2