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晶体学和晶体结构 Fundamentals of Crystallography 主讲:王辉 副教授 王 辉 mehangscut.edu.cn #8-235 第 1章 点对称操作 华南理工大学 材料科学 与工程 学院 金属材料系 研究生课程 2012年秋季学期 本章内容 1. 引言 2. 点对称操作 旋转对称 中心 对称 镜面对称 旋转倒反 旋转反映 2 1. 引言:晶体的结构特征 晶体 是由原子或分子按照一定周期性规律在空间重复排列而成的 固体 3 晶体的对称性 对称操作 symmetry operation:晶体在某种操作变换前后不可 区分(复原,重合 ) 点 对称:旋转,倒反,反映 非点式 对称:平移对称及其与点对称 的组合 宏观对称性与微观对称性 4 分子的对称性 vs 晶体的对称性 5 C60的分子结构和晶体结构 2.点对称操作 点对称操作 :操作过程中保持空间中至少有一个不动点的对称操作,如 旋转、反演、镜面对称 而 使空间中所有点都移动的对称操作称为 非点式对称操作 ,如 平移、螺旋 和 滑移 6 inversion rotation reflection translation 对称要素 对称操作据以进行的几何元素,包括点、线、面,这些几何要素在对称操作中不发生 位移 7 center of inversion mirror plane rotation axis 旋转轴 对称中心 反映面 对称操作的数学描述 8 参考轴 右手规则 R表示 对称算符 对称操作的符号和投影 9 点对称操作的分类 第一类点对称操作 旋转 真旋转 /纯旋转 客体 无 手性 变化 第二类点对称操作 反映 /镜面、反演 /倒反、旋转倒反 /旋转反映 非真旋转 客体 有手性 变化 10 左型 , learus,即 L型 右型, dexter, 即 D型 第一类点对称操作:旋转 Rotation 绕某轴 反时针 旋转 =360/n度的对称操作, n称为 旋转轴次 ,n=1, 2, 3, 4, 6。 称为 基转角 ,分别为 360,180,120,90,60度 轴次定理 决定了晶体中只存在 5种旋转对称,这是 平移对称对 点对称操作 的制约所致 旋转对称操作的符号为 n (Cn),需要时在后面标出它的方向 国际符号也称为赫尔曼 -毛古因 Hermann-Mauguin符号,括号内为熊夫利斯 Schnflies 符号 在一些教科书中还 采用另一种习惯 符号: Ln 恒等 操作 对客体不做任何操作的操作,或将物体绕任意一条轴线转动 360的操作 符号为 1 (E, C1) 对称要素是一条虚设的轴线,称为 1次旋转轴,简称 1次轴 2次旋转 2-fold rotation 国际符号: 2(C2) 投影符号: 对称要素是 2次旋转轴,简称 2次 轴 重复 点数为 2 2次轴垂直于纸面 2次轴平行于纸面 13 纸面上方 纸面下方 3次旋转操作 3-fold rotation 国际符号: 3(C3) 投影符号: 对称要素是 3次轴,重复点数为 3 连续两次操作也是对称操作 33232 333CCC 14 3个一般等效位置 4次旋转操作 4-fold rotation 国际符号: 4(C4) 投影符号: 对称要素是 4次轴,重复点数为 4 与 4次轴相关的对称操作 2242 24CC 34C15 6次旋转操作 6-fold rotation 国际符号: 6(C6) 投影符号: 对称要素是 6次轴,重复点数为 6 六角坐标 与 6次轴相关的对称操作 )(1)(6),(2)(6),(3)(6 166623633262 CCCCCC 16 4个旋转轴 17 第二类点对称操作 倒反(反演) 反映(镜面) 旋转倒反 旋转反演 18 倒反 操作 Inversion 将空间点的每一个位置由坐标为 (x, y, z)变换到 (- x, - y, - z)的操作 符号为 i( , Ci),投影: 倒反操作改变客体的 手性 对称要素称为 反演中心 /对称中心 ,重复点数为 2 镜面 /反映操作 Reflection 定义: 对称要素是镜面 /反映面,符号 m 投影符号 反映操作改变了客体的手性 在符号后面标以该镜面的法线方向,如 m 010 纸面为镜面 旋转倒反 Roto-inversion 旋转操作和倒反操作的复合操作 与此类复合操作相联系的对称要素是倒反轴 独立的倒反轴只有 1种 21 2次旋转倒反 先进行 2次旋转,然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是 2次反轴: 2 2次反轴等价于一个与之垂直的反映面 m 22 3次旋转倒反 先进行 3次旋转,然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是 3次反轴,重复点数为 6 3次倒反轴可分解为一个 3次轴和一个反演中心 0,6 1 2 3 4 5 23 4次旋转倒反 先进行 4次旋转,然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是 4次反轴,重复点数为 4 4次反轴 是一个独立的对称要素 4次反轴隐含一个 2次轴 0,4 1 2 3 组成复合操作的每一个操作本身可能不是对称操作 24 6次旋转倒反 先进行 6次旋转,然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是 6次反轴,重复点数为 6 6次倒反轴可分解为一个 3次轴和反映面 0,3 1 2 25 小结 8个独立的点对称要素: 1, 2, 3, 4, 6, i, m, 2次反轴即反映面 3次反轴可分解为 3次轴加对称中心 6次反轴等价于 3次轴加反映面 4对称要素符号 27 对称要素符号 28 本章要求 晶体对称 性和分子对称性 第一类点对称操作和第二类点对称操作 对称要素的符号和 投影,点对称操作 复合操作 29 思考题 下列物体包含 哪些对称要素 和 对称操作? H2O水分子 埃及金字塔 正四面体 30 下一章节要点 点阵、阵点、结构基元、晶格、晶胞、晶体结构的基本概念 如何从点对称性约束推导出七个晶系,每个晶系单胞的特征对要素是什么? 4次旋转轴是立方晶系的必要条件吗? 31
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