7 4课题学习 镶嵌 这些图形拼成 一个平面图案 的共同特征是 什么 平面镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面 的一部分完全覆盖 叫做多边形覆盖 平面 或平面镶嵌 拼一拼拼一拼 选一选选一选 小明家装修地板小明家装修地板 在正三角形在正三角形 正方形正方形 正五边形正五边形 正六边形瓷砖中只能选择一种正六边形瓷砖中只能选择一种 你认为哪些可以你认为哪些可以 供他选择供他选择 6 60 0 90 0 108 0 120 0 4 3 3 4 能镶嵌 能镶嵌 不能镶嵌 有空隙 能镶嵌 60 6 360 0 0 90 4 360 0 0 108 3 360 108 4 360 0 0 120 3 360 0 0 不能镶嵌 有重叠 实 验 结 果 正n边形拼图每个内角度数 多边形个数结果 n 3 n 4 n 5 n 6 规律 当正多边形的一个内角度数的整数倍是360 时 这种正多边形就能镶嵌 思考思考 仅限于同一种正多边形镶嵌仅限于同一种正多边形镶嵌 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗还能找到能镶嵌的其他正多边形吗 假设正多边形的边数为假设正多边形的边数为n n 由由K K个正多边形恰好个正多边形恰好 可以镶嵌时可以镶嵌时 则这些铺在一个顶点处的则这些铺在一个顶点处的K K个正个正 多边形的多边形的K K个内角和应等于个内角和应等于 而正而正n n边形的每个内角的度数为边形的每个内角的度数为 所以所以 可得方程可得方程 整理整理 得得 K n 2 2n K n 2 2n 所以所以 因为因为K nK n为正整数为正整数 故故n n只能等于只能等于3 3 4 4 6 6 360 360 这说明只用一种正多边形镶嵌 正多边形只有 三种选择 正三角形 正方形和正六边形 问题 小明的爸爸在装修过程问题 小明的爸爸在装修过程 中用一些边角余料切割成一些形状中用一些边角余料切割成一些形状 大小完全相同的任意三角形 他 大小完全相同的任意三角形 他 用这些三角形能进行地板镶嵌吗 用这些三角形能进行地板镶嵌吗 那么任意四边形能不能呢 那么任意四边形能不能呢 任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌 但若想实现 连续铺设 还应将相等的边重 合在一起 结论 想一想 如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌 你又会选择哪两种呢 解 设每个顶点周围有解 设每个顶点周围有x x个正三角形个正三角形 和和y y个正四边形个正四边形 则 则 60 x 90 y 360 60 x 90 y 360 即 即 2x 3y 122x 3y 12 又 又x x y y是正整数是正整数 解得 解得 x 3 y 2 x 3 y 2 即每个顶点处用正三角形的三个 即每个顶点处用正三角形的三个 内角 内角 正方形的两个内角进行拼接正方形的两个内角进行拼接 正三角形和正方形 的平面镶嵌 正多边形 拼 图 正三角形和 正六边形 m 60 n 120 360 2 60 2 120 360 4 60 1 120 360 解 设每个顶点周围有解 设每个顶点周围有mm个正三角形和个正三角形和n n个正个正六六边形边形 60 60 m 120 m 120 n 360 n 360 即即 m 2n 6 m 2n 6 又又mm n n是正整数是正整数 解得解得 即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形 或者用或者用 两个正三角形和两个正六边形两个正三角形和两个正六边形 更多的两种正多边形的镶嵌更多的两种正多边形的镶嵌 正十二边形与正三角形 的平面镶嵌 正八边形与正方 形的平面镶嵌 正十边形与正五边 形的平面镶嵌 两种正多边形拼接在同一点 的各个角的和恰好等于360 这 两种正多边形就能镶嵌 结论结论 你能用三种边长相等的正多边形设计 一个图案吗 试试吧 请你来当设计师 三种正多边形的平面镶嵌三种正多边形的平面镶嵌 正三角形与正方形 正六边形的平面 镶嵌 正十二边形 与正方形 正六边形的 平面镶嵌 如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌 要求 在每个顶点处 每种正多边形只 能有一个 那么边数满足什么条件 解 设正多边形的边数分别为m n t m m 2 180 n n 2 180 t t 2 180 360 3 2 2 m 1 t 1 n 1 m 1 n 1 t 1 2 1 1 平面镶嵌的定义 2 正多边形平面镶嵌的条件 3 关注身边的数学 关注数学中的美 小结 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 镶嵌图片欣赏 埃舍尔 M C ESCHER1898 1972 荷兰现代版画艺术家 他 是一个将艺术与数学融合的画家 也因此享誉世界 资 料 埃舍尔的作品 欣 赏 思考 能否找出所有可以进行平面镶思考 能否找出所有可以进行平面镶 嵌嵌 组合的组合方案 组合的组合方案 我校通向新校区的地下通道想我校通向新校区的地下通道想 用两种用两种 或两种以上的地砖来镶嵌 现或两种以上的地砖来镶嵌 现 向大家向大家 征集方案 设计几个吧 征集方案 设计几个吧 生活中 墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的 用长方形生活中 墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的 用长方形 长方形 矩形 可以任 意镶嵌 并且不同颜色组 合 可以有不同的视觉效 果 结论结论2 2 错位镶嵌错位镶嵌 资料1 石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内 有许多颜色不同的细石 子砌成的各种美丽图案的花石子路 据统计全园花 石子路上的图案约有900幅 可以说是中国拥有石子 路镶嵌图案最多的图林了 这些石子路图案的组成 是把全园作为一个整体来考虑设计的 因此显得 极为统一协调 但是每幅图案又有它的独立的面貌 内容各异 图案的内容有人物 风景 花卉 博 古等 种类繁多 其中的 颐和春色 关黄对刀 鹤鹿同春 等图案 造型优美 动态活泼 构图别致 色彩分明 沿路观赏 美不胜收 资料2 镶嵌画历史悠久 最早见于公元前4000余年的 美索不达米亚 苏美尔人是这种艺术的始祖 镶嵌画以其 色彩的真实性和永久性 制作的多样性以及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传 公元1 4世纪 镶嵌画得到 很大的发展 色彩技巧日臻完善 当时罗马人对它十分推 崇 在美术史上 罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无 论在数量上或质量上都名列前茅 如意大利庞培城出土的 伊苏之战 拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中 的佐伊皇帝像等许多镶嵌画 都是这个时期的艺术珍品 在历史上产生过深远的影响 随着罗马人的足迹 镶嵌画 传入其他地方 各国艺术家都以各自的民族风格 发展了 这一艺术 镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位 墨西哥 苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大 和新颖的技艺而著称 资料3 镶嵌画材料来源十分丰富 有天然彩石 卵石 贝壳 螺钿 宝石 玉石和人造的玻璃料器 陶瓷 有机玻璃 金属和木料等 镶嵌方法有直接镶嵌法 预 制法 反贴反上法 正贴正上法 除平面镶嵌外 也可 以在浮雕上进行镶嵌 后者更能增强壁画的力度 中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格 这 些镶嵌艺术大多出现在工艺品上 如殷商时代的铜器曾 有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现 镶嵌画虽较少 仍 可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶 嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面 当代中国艺术家也开始 重视运用这种艺术形式 在一些重要建筑物的室内外创 作了一些镶嵌画 镶嵌之父 M C 埃舍尔是荷兰的 图形艺术家 着迷于各种镶嵌 许多数学家认为在他的作 品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形 象化 他的作品几乎无人能够企及 世人尊 称他为 镶嵌之父 无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域 它对于我仍然是一个未解的问题 M C 埃舍尔 2 2 正三角形与正六边形正三角形与正六边形 正三角形的每个内角是正三角形的每个内角是60 60 正六边形的每个内角正六边形的每个内角 是是120 120 对于某个拼结点处对于某个拼结点处 设有设有x x个个60 60 角角 有有y y个个 120 120 角角 即即 60 x 120y 36060 x 120y 360 即即 x 2y 6 x 2y 6 又又x x y y是正整数是正整数 解得解得 即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形 或者用或者用 两个正三角形和两个正六边形两个正三角形和两个正六边形 资料资料1 1 用正多边形进行平面镶嵌只有以下这 用正多边形进行平面镶嵌只有以下这1717组解 组解 有书记载说明这有书记载说明这1717组解是组解是19241924年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给 出的 实际上早在此之前 西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的 实际上早在此之前 西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样 真是令人叹为观止 已经一个不少地制出了这些图样 真是令人叹为观止 第一页第二页 用同一种正多边形镶嵌平面 的条件是 正多边形的内角度数 的整数倍恰好是360 符合要 求的正多边形只有正三角形 正方形和正六边形三种 结论结论1 1 用几种多边形进行镶嵌 称 多边形的组合镶嵌 此时要求拼 接在同一点的各个多边形的内角 和为360 结论结论4 4 如果用三种不同的正多边形镶嵌 并且每一顶点处一种多边形 只有一个 那么三种正多边形的边数应满足什么条件 正多边形拼 图 正三角形和 正四边形 60 2 90 360