3 2 数学归纳法的应用 学习目标 1 会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 特别是绝 对值不等式 平均值不等式和柯西不等式 2 了解贝努利不等式 学会贝努利不等式的简单应 用 3 会用数学归纳法证明贝努利不等式 预习自测 1 对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 2 设 为有理数 x 1 如果0 1 则 1 x 1 x 如果 1 则 1 x 1 x 当且仅当 时等号成立 x 0 典例剖析 知识点1 用数学归纳法证明绝对值不等式 例1 设x1 x2 xn为实数 证明 x1 x2 xn x1 x2 xn 1 证明不等式 sin n n sin n N 证明 1 当n 1时 上式左边 sin 右边 不等式成立 2 假设当n k k 1 时 命题成立 即有 sin k k sin 当n k 1时 sin k 1 sin k sin k cos cos k sin sin k cos cos k sin sin k sin k sin sin k 1 sin 即当n k 1时不等式成立 由 1 2 可知 不等式对一切正整数n均成立 知识点2 用数学归纳法证明平均值不等式 反思感悟 用数学归纳法证明不等式的第二步 设 n k时命题成立 证n k 1时命题也成立时 往往要 通过放缩法来实现n k 1时命题所需要的形式 2 证明 如果n n为正整数 个正数a1 a2 an的乘积 a1a2 an 1 那么它们的和a1 a2 an n a3 a4 ak ak 1 k a1a2 a1 a2 ak ak 1 k 1 a1 a2 k a1a2 k 1 a1 a2 a1a2 1 a1 1 a2 1 a1 1 a20 a1 a2 ak ak 1 k 1 0 即a1 a2 ak ak 1 k 1 当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 如果n个正数a1 a2 an 的乘积a1a2 an 1 那么它们的和a1 a2 an n成立 知识点3 用数学归纳法证明柯西不等式 反思感悟 用数学归纳法证明不等式 难点不在于数学 归纳法的原理 而在于如何变形 放缩以便于用上假设 再 经过变形运算使命题得证 课堂小结 数学归纳法能证明与正整数n有关的不等式 但并不是所有 与正整数n有关的不等式都能用数学归纳法证明 证明不等 式的难点在于对命题的变形 在推证n k 1命题成立时 往往利用放缩法通过增加一些项 或舍去一些项 或利用二 项式定理后舍去一些项达到满足n k 1时所需要的形式 有时也会利用比较法证明n k 1时命题成立 随堂演练