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基础达标1设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3,则抛物线的方程为_解析:当m0时,准线方程为x2,m8,此时抛物线方程为y28x;当m0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60,则|_.解析:如图,过A作ADx轴于D.在RtAFD中,AFD60.令FDm,则FA2m.ADm.根据抛物线的定义可知pm2m.mp.|p.答案:p4若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为,则M到该抛物线焦点的距离为_解析:依题意,设点M(x,y),其中x0,则有,由此解得x1,又该抛物线的准线方程为x,结合抛物线的定义,点M到该抛物线的焦点的距离等于1.答案:5直线yx3与抛物线y24x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为_解析:直线yx3与抛物线y24x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,联立方程组得,消元得x210x90,解得,和,AP10,BQ2,PQ8,梯形APQB的面积为48.答案:486.如图,圆形花坛水池中央有一喷泉,水管OP1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则为使水不落到池外,水池直径最小为_m.解析:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py(p0),则P(1,1),代入抛物线方程得p,抛物线x2y,代入点(x,2),得x,即水池半径最小为r(1)m,水池直径最小为2r(22)m.答案:227已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程解:由题意,抛物线方程为y22px(p0),焦点F,直线l:x,A、B两点坐标为,AB2|p|.OAB的面积为4,2|p|4,p2.抛物线的标准方程为y24x.8.如图,过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值证明:设kABk(k0),直线AB,AC的倾斜角互补,kACk(k0),直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后,整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解4xB,即xB,以k代换xB中的k,得xC,kBC,直线BC的斜率为定值能力提升1等腰直角三角形OAB内接于抛物线y22px(p0),O是抛物线的顶点,OAOB,则OAB的面积为_解析:设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1,y1)、B(x2,y2),则y212px1,y222px2,由OAOB,则xyxy,xx2px12px20,即(x1x2)(x1x22p)0,x10,x20,2p0,x1x2,即A、B关于x轴对称故直线OA的方程为:yxtan45,即yx.由,解得,(舍)或,故AB4p,等腰三角形OAB的面积为2p4p4p2.答案:4p22对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)其中能得出抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)解析:在两个条件中,应选择,则由题意,可设抛物线方程为y22px(p0);对于,由焦半径公式r16,p10,此时y220x,不符合条件;对于,2p5,此时y25x,不符合题意;对于,设焦点为,则由题意,满足1.解得p5,此时y210x,所以能使抛物线方程为y210x.答案:3某河上有座抛物线形拱桥,当水面距顶5m时,水面宽为8m,一木船宽4m高2m,载货后木船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:如图所示建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x22py(p0),过点(4,5),162p(5),2p,抛物线方程为x2y,x2时,y,相距为2时不能通行4(创新题)A,B为抛物线y22px(p0)上两点,O为原点,若OAOB,求证:直线AB过定点证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y2px1,y2px2.因为OAOB,所以x1x2y1y20,则yy2px12px24p2x1x24p2y1y2,所以y1y24p2.因为yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1),若x1x2,则,所以直线AB的方程为yy1(xx1)因为y2px1,所以yy1,所以yy1(x2p),所以直线AB过定点(2p,0)若x1x20,则y1y2.因为OAOB,所以x1x2y1y20,故直线xy0,即x2px10,所以x12p.故直线AB过定点(2p,0),所以存在定点(2p,0),使得命题成立资
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