第 1 页 共 4 页 高三质量检测卷 数学 卷一卷一 一 填空题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答案直接填在答题卡相应位置上 1 设全集UR 集合 13 Axx 2 20Bx xx 则AB 2 设i为虚数单位 aR 若 1i 1i a 是纯虚数 则a 3 已知一组数据 6 7 8 8 9 10 则该组数据的方差是 4 已知点 A6 0 点B C分别为双曲线 22 2 1 4 xy a 0 a 的左 右顶点 若ABC 为正三角形 则该 双曲线的离心率为 5 宋元时期 数学名著 算学启蒙 中有关于 松竹并生 的问题 松长四尺 竹长一尺 松日自半 竹日自倍 松竹何日而长等 如图是源于其思想的一 个程序框图 如输入4 1ab 则输出的n的值为 6 2020 武汉加油 中国加油 为了抗击新冠肺炎疫情 全国医护人员从四面 八方驰援湖北 我市医护人员积极响应号召 现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名 年轻医生中选派 2 人支援湖北省黄石市 已知男医生 2 名 女医生 3 人 则选 出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 7 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 6cm 圆心角为 2 3 的扇形 则此圆锥的体积为 3 cm 8 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 a是 2 a与 6 a的等比中项 3 3S 则 9 S的值为 9 已知tan2 则cos 2 4 的值为 10 已知正方形ABCD的边长为2 以C为圆心的圆与直线BD相切 若点M是圆C上的动点 则 AM MD 的最小值为 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答 在其他位置作答一律无效 作答必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔 请注意字体工整笔迹清楚 4 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 第 5 题 第 2 页 共 4 页 11 已知向量 1 22 3 0 0 manbab 若 m n 则 21 1ab 最小值为 12 已知 2 23 1 ln 1 xxx f x x x 若函数 1 2 yf xkx 有 4 个零点 则实数k的取值范围是 13 已知直线 20 R l xmymm 恒过定点A 点 B C为圆 22 25O xy 上的两动点 满足 90BAC 则弦BC长度的最大值为 14 已知函数 f x的定义域为R 且 2 f xf x 当 0 x 时 sinf xx 若存在 0 xm 使得 0 4 3 f x 则m的取值范围为 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且sincos0aBbA 求角A的大小 若2 5a 2b 求 ABC的面积 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 ABBC 1 BBBC 11 BCBCM N为 1 AB的中点 求证 直线MN 平面ABC 求证 1 BC 1 AC M N 第 16 题 第 3 页 共 4 页 17 本小题满分 14 分 某房地产开发商有一块如图 1 所示的四边形空地ABCD 经测量 边界CB与CD的长都为2km 所形成的角60BCD 如果边界AD与AB所形成的角120BAD 现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封 闭的施工场地 求至多购买多少千米长度的板材 当边界AD与CD垂直 AB 与 BC 垂直时 为后期开发方便 拟在这块空地上先建两条内部道 路 AE EF 如图 2 所示 点 E 在边界 CD 上 且道路EF与边界BC互相垂直 垂足为 F 为节约成本 欲将道路 AE EF分别建成水泥路 砂石路 每1km的建设费用分别为3 a a元 a为常数 若 设DAE 试用 表示道路 AE EF建设的总费用 F 单位 元 并求出总费用 F 的最小值 18 本小题满分 16 分 已知椭圆 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的右焦点F的坐标为 3 0 点 313 24 P在椭圆C上 过 F且斜率为 0 k k 的直线l与椭圆C相交于 A B两点 线段AB的中点为M O为坐标原点 求椭圆C的方程 设线段AB的垂直平分线与x轴 y轴分别相交于点 C D 若ODC 与CMF 的面积相 等 求直线l的斜率k 图 2 图 1 第 4 页 共 4 页 19 本小题满分 16 分 已知函数 2 ln f xaxxbx a b R R 若 f x在 1x 处的切线方程为2 20 xy 求实数 a b的值 II 证明 函数 22 yf xx 在x轴的上方无图像 III 确定实数k的取值范围 使得存在 0 1x 当 0 1 xx 时 恒有 1 f xk x 20 本小题满分 16 分 已知项数为 2 m mm N的数列 n a满足如下条件 N 1 2 n anm 12m aaa 若数列 n b满足 12 N 1 mn n aaaa b m 其中1 2 nm 则称 n b 为 n a的 心灵契合数列 数列15 91115 是否存在 心灵契合数列 若存在 写出其 心灵契合数列 若不存在 请说 明理由 若 n b为 n a的 心灵契合数列 判断数列 n b的单调性 并予以证明 已知数列 n a存在 心灵契合数列 n b 且 1 1a 1025 m a 求 m 的最大值 第 1 页 共 2 页 高三质量检测卷 理科数学 卷二卷二 21 本小题满分 10 分 设矩阵 M 0 0 a b 其中0 0ab 若2 3ab 求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 若曲线 22 1C xy 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 2 2 1 4 x Cy 求 ab的值 22 本小题满分 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t t 为参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110 求 C 和 l 的直角坐标方程 求 C 上的点到 l 距离的最小值 第 2 页 共 2 页 23 本小题满分 10 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是边长为2的菱形 侧面PAD 底面ABCD 60BCD 2PAPD E Q分别是BC和PC的中点 求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值 求二面角E DQP 的正弦值 24 本小题满分 10 分 江苏省从 2021 年开始将全面推行新高考制度 新高考 3 1 2 中的 2 要求考生从政治 化学 生物 地理四门中选两科 按照等级赋分计入高考成绩 等级赋分规则如下 从 2021 年夏季高考开始 高考政治 化学 生物和地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为 A B C D E 五个等 级 确定各等级人数所占比例分别为 15 35 35 13 2 等级考试科目成绩计入考生总成绩时 将 A 至 E 等级内的考生原始成绩 依照等比例转换法分别转换到 86 100 71 85 56 70 41 55 30 40 五个分数区间 得到考生的等级分 等级分转换分满分为 100 分 具体转换分数区间如下表 等级ABCDE 比例15 35 35 13 2 赋分区间 86 100 71 85 56 70 41 55 30 40 而等比例转换法是通过公式计算 22 11 Y YT T Y YT T 其中 12 Y Y 分别表示原始分区间的最低分和最 高分 12 T T 分别表示等级分区间的最低分和最高分 Y表示原始分 T表示转换分 当原始分为 12 Y Y 时 等级分分别为 12 T T 假设小明的化学考试成绩信息如下表 考生科目原始分成绩等第原始分区间等级分区间 化学75 分B 等级 69 84 71 85 设小明转换后的等级成绩为T 根据公式得 84 75 85 75 6971 T T 所以T76 677 四舍五入取整 则小明最终化学成绩为 77 分 已知某年级学生有 100 人选了化学 以上学期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩 其中化学成绩获得 A 等级的学生原始成绩统计如下表 从化学成绩获得 A 等级的学生中任取 2 名 求恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的 概率 从化学成绩获得 A 等级的学生中任取 5 名 设 5 名学生中等级成绩不小于 96 分的人数为 求 的分布列和期望 成绩95939190888785 人数1232322 第 23 题 答案 一 填空题 一 填空题 1 1 2 2 四 3 80 4 3 5 5 22 5 6 25 7 8 16 29 9 21 3 10 5 2 11 5 2 2 12 11 13 4 14 2 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 命题立意 本题主要考查两角和与差的正切公式与正 余弦定理等基础知识 考查运算 求解能力 1 由 1tan 1tan 2AB 得tantan1tantanABAB 所以 tantan tan 1 1tantan AB AB AB 4 分 故 ABC 中 AB C 6 分 2 由正弦定理得2 sin c 即2c 8 分 由余弦定理得 22 22cosabab 即 22 22abab 10 分 由 22 2222abababab 得22ab 当且仅当ab 时取等号 12 分 所以 2113 sin 22 Sab 14 分 16 命题立意 本题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象与推理论 证能力 解 1 因为 EF 平面 ABD 易得EF 平面 ABC 平面 ABCI平面 ABDAB 所以 EFAB 5 分 又点 E 是 BC 的中点 点 F 在线段 AC 上 所以点 F 为 AC 的中点 由 AF AC 得 1 2 7 分 2 因为ABACDBDC 点 E 是 BC 的中点 所以BCAE BCDE 9 分 又AEDEE I AEDE 平面 AED 所以BC 平面 AED 12 分 而BC 平面 BCD 所以平面 BCD 平面 AED 14 分 17 解 1 在直角 中 因为 所以 所以 2 分 在直角 中 因为 所以 NFP3PF FPN 3tanNF 11 13tan 3 22 NAP SNA PF MEP1PE 3 EPM tan 3 ME 所以 4 分 所以 6 分 注 定义域错误扣 1 分 2 因为 8 分 令 由 得 所以 12 分 当且仅当时 即时等号成立 13 分 此时 答 当时 四边形材料的面积最小 最小值为 14 分 18 解 椭圆 2 2 1 9 x y 两个焦点 1 2 2 0 F 2 2 2 0 F 设 1 2 2 uuuu r FKxy 2 2 2 uuuu r F Kxy 222 1212 2 2 2 2 8 81 uuur uuuu ruuuu r uuuu r KF KFFKF Kxyxyxyy 11 y 的范围是 4 分 2 设 A B的坐标分别为 11 x y 22 xy 则 222 11 222 22 9 9 xym xym 两式相减 得 12121212 9 0 xxxxyyyy 1212 1212 1 90 yyyy xxxx 即 1 90 OMl kk 故 1 9 OMl kk 8 分 11 3tan 1 223 AMP SAM PE 31 tantan 3 223 NAPAMP SSS 0 3 31 tantan 3 223 S 33tan tan3 22 13tan 13t