第四讲 抽屉原则（一）抽屉原则一：如果把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。21教育名师原创作品例1某校一年级招收了400名新生，而年龄最大的与最小的相差不到一岁，那么这些新生中一定有两个人是同年、同月、同日出生的。你知道为什么吗？解：把一年的365天（闰年366天）中的每一天看作一个抽屉，把400名新生的每一个人的生日看作一个“苹果”，由于“苹果”的数目多于“抽屉”的数目，根据抽屉原则，一定有一个抽屉里至少有两个“苹果”。也就是说至少有两个同学的生日相同。再根据同学们年龄最大的与最小的相差不到一岁，所以这两个同学一定是同年、同月、同日出生的。例2某小学有1000多名学生，从学生中任意挑选13人，证明在这13人中至少有两个人的属相相同。证明：属相一共只有12种，设12个属相为12个“抽屉”，而把13名同学当作13个“苹果”，当苹果放入抽屉后，根据抽屉原则，有一个“抽屉”中至少放了2个“苹果”。也就是说这两个人的属相相同。21*cnjy*com例3六年级（1）班有40名学生，班里有个小书架，同学们可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？解：把40个同学当作40个“抽屉”，而把书当作“苹果”，“苹果”的数目要比“抽屉”的数目大，才能保证至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上的“苹果”。所以小书架上至少要有41本图书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。例4黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂的放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子（每双筷子两根的颜色应一样）。问至少要取出多少根才能保证达到要求？【出处：21教育名师】解：例4不能像前三个例题那样一下子就找到了“抽屉”和“苹果”，从而不能直接运用抽屉原则来解决问题。解这个问题时需要认真地思考和分析。由于各种颜色的筷子是混杂在一起的，我们又是在黑暗中取筷子，取时无法分辨筷子的颜色。这样如果取出的筷子不多于8根的话，有可能取出的筷子都是同一种颜色的，这是最不利的情况。【来源：21cnj*y.co*m】因此要保证颜色不同的两双筷子，取出的筷子的数目必须超过8根。为了保证达到要求，我们从最不利的情况出发，取出的筷子中有8根是同一种颜色的，这样问题就变成了怎样使其余的筷子中保证有两根是同颜色的。这时剩下的筷子的颜色只有两种，把这两种颜色当作两个“抽屉”，而把筷子当作“苹果”，根据抽屉原则，只要再有3根筷子，就能保证其中有两根的颜色是相同的。总之，在最不利的情况下，只要取出8+3=11根筷子，就能保证其中一定有不同颜色的两双筷子。例5从起点开始，每个1米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌子分别挂在三棵树上那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这是为什么？21世纪*教育网解：为了表示两棵树之间的距离，给每棵树按1、2、3、编号。这样两棵树之间的距离就是这两棵树的号码之间的差。树的号码分为奇数和偶数，把这两种数当作两个“抽屉”，把挂牌的树的三个号码放在两个抽屉中，那么至少有两个在同一个“抽屉”中，即同为偶数或同为奇数。两个偶数的差或两个奇数的差都是偶数，所以至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数。例6能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线AC、BD上的各个数字的和互不相同？并对你的结论加以说明。解：这个问题初看起来似乎与“抽屉原则”的关系不密切。下面我们先看图，图中有8行、8列及两条对角线，一共有18条线。每条线上都填有8个1、2、3这样的数字。要使得每条线上的数字和都不同，那么每条线上这8个数字的和取不同值的可能就必须不少于18种。下面我们看看8个由1、2或3的数字，它们的和的可能性最多有多少种。8个数若都是1，则这个和是8；若8个数字都是3，则最大的数字和是24。由于数字和都是整数，从8到24，一共有248+1=17种不同的可能。21*cnjy*com把这17种不同的值当作17个“抽屉”，把18条线当作18个苹果，所以至少有一个抽屉中有两个苹果。也就是说，不论怎样填写，在这18条线中至少有两条线上的8个数字的和是相同的。所以不可能使得18条线上各个数字的和互不相同。抽屉原则二：如果把多于mn个的元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有m+1个元素。例7某小学有1100名学生，而一年级（2）班有49名学生，那么可以肯定这个班至少有5人在同一个月出生。而全校至少有4人的生日相同（年可以不相同）。解：我们把一年中的12个月当作12个“抽屉”，把一年级（2）班的49名同学当作49个苹果。由于49=412+1，根据抽屉原则二，一定有一个“抽屉”中至少放了5个“苹果”。也就是说，这个班至少有5人在同一个月出生。同样的道理，我们可以把一年中的366天（一年最多366天）看作是366个“抽屉”，把全校1100名学生看作是1100个“苹果”，11003366+1，根据抽屉原则二，一定有一个“抽屉”中至少放了4个“苹果”。也就是说，全校至少有4人的生日相同（年可以不相同）。例8据信一个人的头发根数不会超过20万根。某城市有人口一百多万（假设每人都有头发），证明这个城市中至少有6个人的头发根数一样多。21世纪教育网版权所有证明：把头发根数看作“抽屉”，这样可以得到20万个“抽屉”，并对每个抽屉依次标上1、2、3、200000之中的一个号码。把每个人的头发根数看作“苹果”，由于一百多万大于520万，根据抽屉原则二，这个城市至少有6个人的头发根数一样多。例9一个口袋里放有红色、黄色或绿色三种颜色的玻璃球各若干颗。现在从中任意取出一些球。问至少要取出多少颗球，才能保证其中至少有五颗球的颜色是相同的？如果要保证其中有六颗球或七颗球的颜色相同，有各至少应取出多少颗球。21cnjy解：把红色、黄色、绿色三种颜色看作三个“抽屉”，把取出的球看作“苹果”要保证有五颗球的颜色相同，也就是要保证有一个抽屉中有5个苹果。根据抽屉原则二，取出的球应多于43颗。即至少要取出13颗球，才能保证其中至少有五颗球的颜色是相同的。同理至少要取出16颗球，才能保证其中至少有六颗球的颜色是相同的。至少要取出19颗球，才能保证其中至少有七颗球的颜色是相同的。【来源：21世纪教育网】练习题1设a1、a2、a10这10个数都是大于0且小于1的数。证明其中一定能找到两个数，使得较大的数减去较小的数的差不超过九分之一。21教育网解：把01的线段分成9等分，每份的长度是九分之一，把每一份看作是一个“抽屉”，把这10个数看作是10个苹果，放入这10个抽屉中，根据抽屉原则一，知道一定有一个抽屉中至少有两个数，它们的差不超过九分之一。21cnjy.com2从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。解：把所有的数被12除，观察它们的余数，余数只有0、1、2、11这12个数。 按12个余数做标准，做12个“抽屉”，把13个数当作“苹果”，根据抽屉原则一，一定有一个“抽屉”中至少有2个数，即这两个数被12除的余数相同，所以它们的差是12的倍数。21cnjycom3在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。为什么？解：把这条小路分成每段长度为1米的100段，做成100个“抽屉”，把101棵树看作“苹果”，根据抽屉原则一，一定有一个“抽屉”其中至少有2棵树。这两棵树之间的距离不超过1米。www-2-1-cnjy-com4如图，一个3行9列共27个小方格的长方形，将每个小方格涂上红色或蓝色。证明：不论如何涂色，其中必定至少有两列，它们的涂色方式相同。www.21-cn-jy.com解：一列三个小格中涂红、蓝两种颜色，只有8种涂法。把这8种涂法看作是8个“抽屉”，把这九列看作9个“苹果”，根据抽屉原则一，一定有一个“抽屉”中至少有两个“苹果”，也就是说一定有两列，它们的涂色的方式是相同的。2-1-c-n-j-y5一个幼儿班有40名小朋友，现在有各种玩具125件，把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具。【版权所有：21教育】解：把40个小朋友看作是40个“抽屉”，把125件玩具看作是125 个“苹果”，125340，根据抽屉原则二，一定有一个抽屉，其中至少有3+1=4件玩具。6袋子里装有红色球80个，蓝色球70个，黄色球60个，白色球50个，它们的大小和质量都一样，要保证摸出10对球（两个颜色相同的球为一对），至少应取出多少个球。解：从极端情况考虑，如果已经摸出了9对球，共18个。然后红色、蓝色、黄色、白色球各摸出1个，现在有18+4=22个球，再随意摸出一个球，不论是什么颜色的，一定可以组成第10对球。所以至少应取出23个球。