考纲要求考纲研读 1 会用基本不等式 解决简单的最大 小 值问题 2 会从实际情境中 抽象出一些简单的 二元线性规划问题 并能加以解决 近几年的试题增强了对密切联系生产和 生活实际的应用性问题的考查力度 主要有 两种方式 1 线性规划问题 求给定可行域的面积 求 给定可行域的最优解 求目标函数中参数的 2 基本不等式的应用 一是侧重 正 定 等 条件的满足条件 二是用于 求函数或数列的最值 第5讲不等式的应用 1 如果 a b R 那么 a2 b2 当且仅当 a b 时取 号 2ab 2 如果 a b 是正数 那么 a b 2 当且仅当 a b 时取 号 3 可以将两个字母的重要不等式推广 以上不等式从左至右分别为 调和平均数 记作 H 几何平均 数 记作 G 算术平均数 记作 A 平方平均数 记作 Q 即 H G A Q 各不等式中等号成立的条件都是 a b 4 常用不等式还有 ab bc ca 1 a b c R a2 b2 c2 当且仅当 a b c 时 取等号 1 某债券市场常年发行三种债券 A 种面值为 1 000 元 一 年到期本息和为 1 040 元 B 种贴水债券面值为 1 000 元 但买入 价为 960 元 一年到期本息和为 1 000 元 C 种面值为 1 000 元 半年到期本息和为 1 020 元 设这三种债券的年收益率分别为 a b c 则 a b c 的大小关系是 C A a c 且 a b C a c b B a b c D c a b 3 3 建造一个容积为 8 m3 深为 2 m 的长方体无盖水池 如果 池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元 那么水池的最 低总造价为 2 000 5 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米 小时匀速直达 B 市 已知两地路线长 400 千米 为了安全两辆货车最小间距不得小于 千米 那么物资运到 B 市的时间关于货车速度的函数关系式 应为 4 已知函数 f x x a x 2 x 2 的图象过点 A 3 7 则此函数 的最小值是 6 考点1利用不等式进行优化设计 例1 设计一幅宣传画 要求画面面积 4 840 cm2 画面的上 下各留 8 cm 的空白 左右各留 5 cm 的空白 怎样确定画面的高 与宽的尺寸 能使宣传画所用纸张最小 利用不等式解实际问题时 首先要认真审题 分析 题意 建立合理的不等式模型 最后通过基本不等式解题 注意 最常用的两种题型 积一定 和最小 和一定 积最大 互动探究 1 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室 在 温室内 沿左 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道 沿前侧 D 内墙保留 3 m 宽的空地 则最大种植面积是 A 218 m2B 388 m2 C 468 m2D 648 m2 考点2 线性规划进行优化设计 例2 央视为改版后的 非常 6 1 栏目播放两套宣传片 其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒 广告时间为 30 秒 收视观 众为 60 万 宣传片乙播映时间为 1 分钟 广告时间为 1 分钟 收 视观众为 20 万 广告公司规定每周至少有 3 5 分钟广告 而电视 台每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间 电视 台每周应播映两套宣传片各多少次 才能使得收视观众最多 解析 设电视台每周应播映宣传片甲x 次 宣传片乙y 次 4x 2y 16 总收视观众为z 万人 则有如下条件 0 5x y 3 5 x y N 目标函数z 60 x 20y 作出满足条件的区域 如图D10 图D10 由图解法可得 当x 3 y 2 时 zmax 220 答 电视台每周应播映宣传片甲3 次 宣传片乙2 次才能使得收视观众最多 利用线性规划研究实际问题的基本步骤是 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定线 性目标函数 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域内 求得使目标函数取得最值的解 还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解 即结合实际情况求得最优解 本题完全利用图象 对作图的准确性和精确度要求很高 在 现实中很难做到 为了得到准确的答案 建议求出所有边界的交 点代入检验 互动探究 4 考点3 用基本不等式处理实际问题 例3 2011 年湖北3月模拟 某企业用49万元引进一条年产 值 25 万元的生产线 为维护该生产线正常运转 第一年需要各种 费用 6 万元 从第二年起 每年所需各种费用均比上一年增加 2 万元 1 该生产线投产后第几年开始盈利 即投产以来总收入减去 成本及各年所需费用之差为正值 2 该生产线生产若干年后 处理方案有两种 方案 年平均盈利达到最大值时 以 18 万元的价格卖出 方案 盈利总额达到最大值时 以 9 万元的价格卖出 问 哪一种方案较为合算 请说明理由 解题思路 根据题意建立函数模型 利用基本不等式求解 当n 7 时 年平均盈利最大 若此时卖出 共获利6 7 18 60 万元 方案 y n2 20n 49 n 10 2 51 当且仅当n 10 时 即该生产线投产后第10 年盈利总额最大 若此时卖出 共获利51 9 60 万元 两种方案获利相等 但方案 所需的时间长 方案 较合算 互动探究 3 2011 年北京 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备 产品每天的仓储费用为 1 元 为使平均每件产品的生产准备费用 与仓储费用之和最小 每批应生产产品 A 60 件B 80 件C 100 件D 120 件 答案 B 易错 易混 易漏 10 利用基本不等式时忽略等号成立的条件 例题 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方 米的三级污水处理池 池的深度一定 平面图如图 5 5 1 如果 池四周围墙建造单价为 400 元 米 中间两道隔墙建造单价为 248 元 米 池底建造单价为 80 元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 图 5 5 1 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低 总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过 16 米 试设计 污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 失误与防范 利用均值不等式时要注意符号成立的条件及 题目的限制条件 数学应用问题 就是指用数学的方法将一个表面上非数学问 题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题 随着新课 程标准的改革和素质教育的进一步推进 要求学生应用所学知识 解决实际问题的趋势日益明显 近几年的高考试题增强了对密切 联系生产和生活实际的应用性问题的考察力度 而以不等式为模 型的应用题是最常见的题型之一 有关统筹安排 最佳决策 最 优化问题以及涉及最值等的实际问题 常常建立不等式模型求解 应用基本不等式应遵循 一正 二定 三相等 三 项基本原则 尤其等号能否成立最容易忽视 如果等号不能成立 则考虑利用函数的单调性求解