第五十讲 古典概型与几何概型 回归课本 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型 1 定义 我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率 模型 简称为古典概型 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等 2 计算公式 注意 应用古典概型计算概率时 要验证试验中基本事件的两 个条件 3 几何概型 1 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模 型 简称为几何概型 2 计算公式 注意 1 几何概型具备以下两个特征 无限性 即每次试验的结果 基本事件 有无限多个 且全体结 果可用一个有度量的几何区域表示 等可能性 即每个基本事件发生的概率相等 2 应用几何概型求概率需将试验和事件所包含的基本事件转 化为点 然后看这些点构成的区域是线段还是平面还是几 何体 也就是需要将试验和事件转化为相应的几何图形 考点陪练 1 2010 浙江宁波调考 在三棱锥的六条棱中任意选择两条 则这两条棱是一对异面直线的概率为 解析 在三棱锥的六条棱中任意选择两条共有15种情况 其中 异面的情况有3种 则这两条棱异面的概率为 所以选C 答案 C 2 2010 山东临沂质检 甲 乙两人各写一张贺年卡 随意送给 丙 丁两人中的一人 则甲 乙将贺年卡送给同一人的概 率是 解析 甲送给丙 乙送给丁 甲送给丁 乙送给丙 甲 乙都送 给丙 甲 乙都送给丁 共四种情况 其中甲 乙将贺年卡送 给同一人的情况有两种 所以 选A 答案 A 3 2010 江苏南京质检 抛掷两颗骰子出现的点数分别为b c 则方程x2 bx c 0有两个实根的概率为 解析 抛掷两颗骰子 共有36个结果 方程有解 则 b2 4c 0 b2 4c 满足条件的数对记为 b2 4c 共有 4 4 9 4 9 8 16 4 16 8 16 12 16 16 25 4 25 8 25 12 25 16 25 20 25 24 36 4 36 8 36 12 36 16 36 20 36 24 共19个结果 答案 C 4 2010 福建福州诊断 为了测算如图阴影部分的面积 作一 个边长为6的正方形将其包含在内 并向正方形内随机投掷 800个点 已知恰有200个点落在阴影部分内 据此 可估计阴 影部分的面积是 A 12 B 9 C 8 D 6 解析 正方形面积为36 阴影部分面积为 36 9 答案 B 5 2010 浙江温州调研 一个袋子中有5个大小相同的球 其 中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到 两个同色球的概率是 解析 黑1 黑2 黑1 黑3 黑1 红1 黑1 红2 黑2 黑3 黑2 红1 黑2 红2 黑3 红1 黑3 红2 红1 红2 共10个结果 同色球为 黑1 黑2 黑1 黑3 黑2 黑3 红1 红2 共4个结 果 答案 C 类型一写出基本事件 解题准备 随机试验满足下列条件 1 试验可以在相同的条件 下重复做下去 2 试验的所有结果是明确可知的 并且不止 一个 3 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在试 验之前却不能肯定会出现哪一个结果 所以 随机试验的每 一个可能出现的结果是一个随机事件 这类随机事件叫做 基本事件 典例1 做抛掷两颗骰子的试验 用 x y 表示结果 其中x表 示第一颗骰子出现的点数 y表示第二颗骰子出现的点数 写 出下列事件包含的基本事件 1 试验的基本事件 2 事件 出现点数之和大于8 3 事件 出现点数相等 4 事件 出现点数之和大于10 分析 抛掷两颗骰子的试验 每次只有一种结果 且每种结果 出现的可能性是相同的 所以该试验是古典概型 当试验结 果较少时可用列举法将所有结果一一列出 解 1 这个试验的基本事件为 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 2 出现点数之和大于8 包含以下10个基本事件 3 6 4 5 4 6 5 4 5 5 5 6 6 3 6 4 6 5 6 6 3 出现点数相等 包含以下6个基本事件 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 出现点数之和大于10 包含以下3个基本事件 5 6 6 5 6 6 类型二简单的古典概型问题 解题准备 计算古典概型事件的概率可分三步 算出基本事 件的总个数n 求出事件A所包含的基本事件个数m 代 入公式求出概率P 典例2 从含有两件正品a1 a2和一件次品b1的3件产品中 每次任取1件 每次取出后不放回 连续取两次 求取出的两 件产品中恰有一件次品的概率 分析 先用坐标法求出基本事件数m和n 再利用公式 求 出P 解 每次取一件 取后不放回地连续取两次 其一切可能的结 果为 a1 a2 a1 b1 a2 a1 a2 b1 b1 a1 b1 a2 其中小括 号内左边的字母表示第1次取出的产品 右边的字母表示第 2次取出的产品 由6个基本事件组成 而且可以认为这些基 本事件的出现是等可能的 用A表示 取出的两件产品中 恰好有一件次品 这一事件 则 A a1 b1 a2 b1 b1 a1 b1 a2 事件A由4个基本事件组成 因而 类型三复杂事件的古典概型问题 解题准备 求复杂事件的概率问题 关键是理解题目的实际含 义 必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和 或者是先 去求对立事件的概率 进而再用互斥事件的概率加法公式 或对立事件的概率公式求出所求事件的概率 典例3 某种饮料每箱装6听 如果其中有2听不合格 质检 人员从中随机抽出2听 求下列事件的概率 1 A 经检测两听都是合格品 2 B 经检测两听一听合格 一听不合格 3 C 检测出不合格产品 分析 显然属于古典概型 所以先求出任取2听的基本事件总 数 再分别求出事件A B C所包含的基本事件的个数 套用 公式求解即可 解 设合格的4听分别记作1 2 3 4 不合格的两听分别记作 a b 解法一 如果看作是一次性抽取2听 没有顺序 那么所有基本 事件为 1 2 1 3 1 4 1 a 1 b 2 3 2 4 2 a 2 b 3 4 3 a 3 b 4 a 4 b a b 共15个 1 事件A 两听都是合格品包含6个基本事件 P A 2 事件B 一听合格 一听不合格 包含8个基本事件 P B 3 事件C 检测出不合格产品包含9个基本事件 P C 解法二 如果看作是依次不放回抽取两听 有顺序 那么所有基 本事件为 1 2 1 3 1 4 1 a 1 b 2 1 2 3 2 4 2 a 2 b 3 1 3 2 3 4 3 a 3 b 4 1 4 2 4 3 4 a 4 b a 1 a 2 a 3 a 4 a b b 1 b 2 b 3 b 4 b a 共30个 1 事件A 两听都是合格品包含12个基本事件 P A 2 事件B 一听合格 一听不合格包含16个基本事件 P B 3 事件C 检测出不合格产品包含18个基本条件 P C 类型四与长度有关的几何概型 解题准备 1 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度 表示 则其概率的计算公式为 2 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取 一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事 件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中 的点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 典例4 公交车站点每隔15分钟有一辆汽车通过 乘客到 达站点的任一时刻是等可能的 求乘客候车不超过3分钟的 概率 分析 在任一时刻到达站点都是一个基本事件 基本事件有 无限个 又在任一时刻到达站点是等可能的 故是几何概型 解 这里的区域长度理解为 时间长度 总长度为15分钟 设事件A 候车时间不超过3分钟 则A的长度为3分钟 由 几何概型得 类型五与面积 或体积 有关的几何概型 解题准备 1 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面 积表示 则其概率的计算公式为 2 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示 则 其概率的计算公式为 典例5 已知 x 2 y 2 点P的坐标为 x y 1 求当x y R时 P满足 x 2 2 y 2 2 4的概率 2 求当x y Z时 P满足 x 2 2 y 2 2 4的概率 分析 本题第 1 问为几何概型 可采用数形结合的思想画出 图形 然后利用几何概型的概率公式求解 第 2 问为古典概 型只需分别求出 x 2 y 2内的点以及 x 2 2 y 2 2 4的 点的个数即可 解 1 如图 点P所在的区域为正方形ABCD的内部 含边界 满足 x 2 2 y 2 2 4的点的区域为以 2 2 为圆心 2为半径 的圆面 含边界 2 满足x y Z 且 x 2 y 2的点 x y 有25个 满足x y Z 且 x 2 2 y 2 2 4的点 x y 有6个 所求的概率P2 类型六生活中的几何概型 解题准备 生活中的几何概型常见的有人约会 船停码头 等车 等问题 解决时要注意 1 要注意实际问题中的可能性的判断 2 将实际问题转化为几何概型中的长度 角度 面积 体积等 常见几何概型的求解问题 构造出随机事件A对应的几何图 形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率 根据实际问 题的具体情况 合理设置参数 建立适当的坐标系 在此基础 上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点 便可构 造出度量区域 典例6 两人约定在20 00到21 00之间相见 并且先到者 必须等迟到者40分钟方可离去 如果两人出发是各自独立 的 在20 00至21 00各时刻相见的可能性是相等的 求两人 在约定时间内相见的概率 分析 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟 即 小时 设 两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人在约定的时 间范围内相见 当且仅当 x y 因此转化成面积问 题 利用几何概型求解 解 设两人分别于x时和y时到达约见地点 要使两人能在约 定时间范围内相见 当且仅当 x y 两人到达约见地点所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的 单位正方形内 包括边界 的点来表示 两人能在约定的时间 范围内相见的所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的阴 影部分 包括边界 来表示 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时 间范围内相遇的可能性的大小 也就是所求的概率为 反思感悟 此题易误算为 原因在于把面积问题 误认为是 时间 长度问题 两人能够会面用图中阴影部分表 示更准确 此处容易表示错 错源一对事件的几何元素分析不清致误 典例1 在等腰Rt ABC中 过直角顶点C在 ACB内作 一条射线CD与线段AB交于点D 求AD AC的概率 错解 在线段AB上取一点E 使AE AC 在线段AE上取一点 D 过C D作射线CD 此时AD AC 求得概率为 剖析 上面是常见的错误解法 原因是不能准确找出事件的 几何度量 正解 射线CD在 ACB内是均匀分布的 故 ACB 90 可看 成试验的所有结果构成的区域 在线段AB上取一点E 使 AE AC 则 ACE 67 5 可看成所求事件构成的区域 所以 满足条件的概率为 评析 古典概型与几何概型的判断方法 古典概型 几何概型以及前面复习的概率加法公式都是求解 概率题目的方法 一个概率问题具体用什么方法求解需要 去分析这一问题所描述的试验和事件 因此 碰到概率问题 时 先确定该问题的试验会有哪些事件 若试验包含的基本 事件有有限个 则考虑古典概型 如果试验包含的基本事件 有无限个 则考虑几何概型 概率加法公式的选择 则需要分 析题目中所描述的事件之间的关系 错源二构造随机事件对应的几何图形出错 典例2 向面积为S的正方形ABCD内投一点P 试求三角 形PBC的面积小于 的概率 错解 如图所示 设三角形PBC的边BC上的高为PF