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理科数学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线,若,则实数的值为( )A B 0 C或0 D22.已知是两条不同直线,是两个不同的平面,且,则下列叙述正确的是( )A若,则 B若,则C若,则 D若,则3.的斜二测直观图如图所示,则的面积为( )A 1 B2 C. D4.“”是“直线与垂直”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.在三棱锥中,分别是和的重心,则直线与的位置关系是( )A相交 B平行 C.异面 D以上都有可能6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A 1 B2 C. 3 D47.若直线,与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等,则( )A0或-1 B0或1 C.1或-1 D0或1或-18.设两条直线的方程分别为,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A, B, C., D,9.已知正三棱锥的高为,点为侧棱的中点,与所成角的余弦值为,则正三棱锥的体积为( )A B C. D10.如图,正方体的棱长为1,过点作平面的垂线,垂足为点,则以下命题中,错误的命题是( )A. 点是的垂心 B的延长线经过点C.垂直平面 D直线和所成的角为11.已知点是直线上一动点,是圆的两条切线,是切点.若四边形的最小面积是2,则的值为( )A B C. D 212.已知点为圆外一点,圆上存在点使得,则实数的取值范围是( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.经过两条直线和的交点,且垂直于直线的直线方程为_.14.长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则长方体的体积为_.15.点过直线始终平分圆的周长,则的最大值是_.16.矩形中,分别为边的中点,将沿折起,点折起后分别为点,得到四棱锥.给出下列几个结论:四点共面;平面;若平面平面,则;四棱锥体积的最大值为.其中正确的是_.(填上所有正确的序号)三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点在正视图中所示位置:为所在线段中点,为顶点,求在几何体表面上,从点到点的最短路径的长.18.(12分)已知的三个顶点,其外接圆为.若直线过点,且被截得的弦长为2,求直线的方程.19.已知四边形满足,是的中点,将沿着翻折成,使平面平面,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)证明:平面平面.20.(12分)已知圆上一定点,为圆内一点,为圆上的动点.(1)求线段中点的轨迹方程;(2)若,求线段中点的轨迹方程.21.(12分)已知以点为圆心的圆过原点.(1)设直线与圆交于点,若,求圆的方程;(2)在(1)的条件下,设,且分别是直线和圆上的动点,求的最大值及此时点的坐标.22.(12分)如图所示,四棱柱中,侧棱底面,为的中点.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值;(3)设点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.高二理科数学期中答案一、选择题1-5:CCBAB 6-10: BADCD 11、12:DB二、填空题13. 14.48 15. 16.三、解答题17.解:(1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.,所以.(2)沿点与点所在母线剪开圆柱侧面,如图则,所以从点到点在侧面上的最短路径的长为.18.解:线段的垂直平分线方程为,线段的垂直平分线方程为,所以外接圆圆综上,直线的方程为或.19.解:(1)证明:连接交于,连接,四边形为菱形,为的中点,又为的中点,.又平面,平面,平面.(2)证明:连接,则,又,平面.又,平面.又平面,平面平面.20.解:(1)设中点为,由中点坐标公式可知,点坐标.因为点在圆上,所以.故线段中点的轨迹方程为.(2)设的中点为.在中,设为坐标原点,连接,则,所以,所以.故线段中点的轨迹方程为.21.解:(1),所以,则原点在的中垂线上.设的中点为,则,三点共线.直线的方程是,直线的斜率,解得或,圆心为或,圆的方程为或.由于当圆方程为时,圆心到直线的距离,此时不满足直线与圆相交,故舍去.圆的方程为.(2)在三角形中,两边之差小于第三边,故,又三点共线时最大,所以的最大值为.,直线的方程为,直线与直线的交点的坐标为.22.解:(1)侧棱底面,平面,.经计算可得,在中,.又,平面,平面.又平面,.(2)如图所示,过作于点,连接.由(1)知,故平面,得.为二面角的平面角.在中,由,可得.在中,即二面角的正弦值为.(3)如图所示,连接,过点作于点,可得平面,连接,则为直线与平面所成的角.设,从而在中,有,.在中,得.在中,由,得,整理得,解得(负值舍去).线段的长为.资
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