理科数学试题 班级：姓名：成绩：，一、选择题（共6小题；共30分）1. 已知 ， 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A. 若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B. 若 ， 平行于同一平面，则 与 平行C. 若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D. 若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面2. 给出下列四个命题：其中真命题有( )如果 是两条直线，且 ，那么 平行于经过 的任何平面；如果直线 和平面 满足 ，那么 与平面 内的直线不是平行就是异面；如果直线 ，则 ；如果平面 平面 ，若 ，则 A. 个B. 个C. 个D. 个3. 如图，正方体 的棱长为 ， 是底面 的中心，则 到平面 的距离为 A. B. C. D. 4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 ，则侧棱与底面所成的角为( )A. B. C. D. 5. 函数 的最大值是( )A. B. C. D. 6. 若三棱柱的一个侧面是边长为 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 的菱形，则该棱柱的体积等于( )A. B. C. D. 二、填空题（共3小题；共15分）7. 在长方体 中，棱 ， ，点 是线段 上的一动点，则 的最小值是 8. 在斜三棱柱 中，则 在底面 上的射影 必在 9. 如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，则异面直线 和 所成的角的大小是 三、解答题（共3小题；共39分）10. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设 的中点为 ， 的中点为 (1) 请将字母 ， 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(2) 证明：直线 ；(3) 求二面角 的余弦值11. 已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 是对角线 的中点(1) 求证： 为异面直线 和 的公垂线；(2) 求二面角 的余弦值的大小；(3) 求三棱锥 的体积12. 如图，已知 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形，(1) 求证：；(2) 求三棱锥 的体积；(3) 线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说明理由天全中学20152016学年下期高二第5周周考理科数学参考答案第一部分1. D2. B3. B4. C5. D6. B第二部分7. 8. 直线 上9. 第三部分10. (1) 点 ， 的位置如图所示10. (2) 如图，连接 ，设 为 的中点因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，且 ，且 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，从而 又 ，所以 10. (3) 方法一：如图，连接 ，过 作 于 在正方体 中，所以 ，过 作 于 ，连接 ，所以 ，从而 所以 是二面角 的平面角设 ，则 ，在 中，在 中，所以 ，即二面角 的余弦值为 方法二：如图，以 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 设 ，则 ，所以 ，设平面 的一个法向量为 ，由 得 取 ，得 在正方体 中，则可取平面 的一个法向量为 ，所以 故二面角 的余弦值为 11. (1) 法一：如图，连接 ，取 中点 ，则 为 的中点，连接 因为 是棱 的中点，点 是 的中点所以 ，所以 为平行四边形所以 ，由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 又因为 与异面直线 和 都相交，故 为异面直线 和 的公垂线法二：以点 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 则 ，因为点 是棱 的中点，点 是 的中点所以 ，所以所以所以 ，又因为 与异面直线 和 都相交，故 为异面直线 和 的公垂线11. (2) 解法一：取 中点 ，连接 ，则 ，过点 作 于 ，连接 ，则由三垂线定理得 从而 为二面角 的平面角，所以在 中，故二面角 的余弦值为 解法二：设平面 的一个法向量为 ，则 即 取 ，则 ，从而 取平面 的一个法向量为 ，所以由图可知，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 11. (3) 解法一：易知 ，且 和 都在平面 内，点 到平面 距离 ，所以解法二：易知设平面 的一个法向量为 ，则 即 取 ，得 ，从而 点 到平面 的距离所以12. (1) 如图，过 作 ，垂足为 ，因为 ，所以四边形 为矩形所以 又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 12. (2) 因为 ，所以 ，12. (3) 存在，点 为线段 中点，证明如下：在矩形 中，因为点 ， 分别为线段 和 的中点，所以四边形 为正方形，所以 ；因为 ，所以 在直角梯形 中，因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，因为 ，所以 资