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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江西卷,含答案)第卷一选择题:本小题共12题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 已知,则实数分别为A BC D2若集合,则A BC D3不等式的解集是A BC D4A B C D不存在5等比数列中,函数,则A B C D6展开式中不含项的系数的和为A B C D7E,F是等腰直角斜边AB上的三等分点,则A B C D8直线与圆相交于M,N两点,若,则的取值范围是A BC D9给出下列三个命题:函数与是同一函数;若函数与的图像关于直线对称,则函数与的图像也关于直线对称;若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数其中真命题是A B C D10过正方体的顶点A作直线,使与棱所成的角都相等,这样的直线可以作A1条 B2条 C3条 D4条11一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各参入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和则A B C D以上三种情况都有可能 12如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致为二填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分请把答案填写在答题卡上13已知向量满足与的夹角为60,则_14将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_种(用数字作答)15点在双曲线的右支上,若点A到右焦点的距离等于,则_16如图,在三棱锥中,三条棱两两垂直,且,分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为,则的大小关系为_三解答题:本大题共小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知函数(1)当时,求在区间上的取值范围;(2)当时,求的值18(本小题满分12分)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间(1)求的分布列;(2)求的数学期望19(本小题满分12分)设函数(1)当时,求的单调区间;(2)若在上的最大值为,求的值20(本小题满分12分)如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面BCD,(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值21(本小题满分12分)设椭圆,抛物线(1)若经过的两个焦点,求的离心率;(2)设,又M、N为与不在轴上的两个交点,若得垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程22(本小题满分14分)证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列理科数学试题参考答案一 选择题;本大题共12小题,每小题5分,共60分1D 2C 3A 4B 5C 6B 7D 8A 9C 10D 11B 12A 二 填空题:本小题共4小题,每小题4分,共16分 13 141080 152 16三 解答题:本大题共6小题,共74分17(本小题满分12分)解:(1)当时,又由得,所以,从而18(本小题满分12分)解:(1)的所有可能取值为:1,3,4,6,所以的分布列为:1346(2)(小时)20(本小题满分12分)解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,则又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,所以MO/AB,MO/平面ABCM,O到平面ABC的距离相等作OHBC于H,连MH,则MHBC求得,设点A到平面MBC的距离为,由得即,解得(2)延长AM、BO相交于E,连CE、DE,CE是平面ACM与平面BCD的交线由(1)知,O是BE的中点,则四边形BCED是棱形作于F,连AF,则就是二面角的平面角,设为因为,所以,解法二:取CD中点O,连OB,OM,则又平面平面BCD,则平面BCD取O为原点,直线OC、BO、OM为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系如图,则各点坐标分别为21(本小题满分12分)解:(1)因为抛物线经过椭圆的两个焦点,可得,由,有,所以椭圆的离心率(2)由题设可知M,N关于轴对称,设,则由 的垂心为B,有,所以由于点在上,故有 22(本小题满分14分)证明:(1)易知成等差数列,则也成等差数列,所以对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列(2)若成等差数列,则有,即 选取关于的一个多项式,例如,使得它可按两种方式分解因式,由于因此令,可得易验证满足,因此成等差数列,当时,有且因此以为边长可以构成三角形,将此三角形记为其次,任取正整数,假若三角形与相似,则有:据此例性质有:所以,由此可得,与假设矛盾,即任两个三角形与互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且以成等差数列9
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