答案第 1页 总 21页 涡阳一中涡阳一中 2018 级高二年级数学级高二年级数学寒假寒假作业 作业 1 命题 王朝雨命题 王朝雨审题 冯新建审题 冯新建 一 单选题一 单选题 1 已知 22 ab cc 则下列各式一定成立的是 A 22 ab B ab C 11 22 ba D nn ab 2 等比数列 n a中 1 0a 则 14 aa 是 35 aa 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 3 己知抛物线 2 4yx 上一点P到焦点的距离为 1 则点P的纵坐标为 A 3 4 B 7 8 C 15 16 D 17 16 4 阿基米德 公元前 287 年 公元前 212 年 不仅是著名的物理学家 也是著名的数学家 他利用 逼近法 得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆 C 的焦点在 x 轴上 且椭圆 C 的离心率为 7 4 面积为 12 则椭圆 C 的方程为 A 22 1 34 xy B 22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 5 直线 m n和平面 则下列命题中 正确的是 A mn nm B mn nm C mnn m D mmnn 6 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为e 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点坐标为 1 0 若e p 则双曲线C的渐近线方程为 A 3yx B 2 2yx C 5 2 yx D 2 2 yx 答案第 2页 总 21页 7 若 x 0 3 使得不等式 x2 2x a 0 成立 则实数 a 的取值范围是 A 3 a 0B a 0C a 1D a 3 8 设 F1 F2分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若双曲线右支上存在一 点 M 使 11 0FMOFOM O 为坐标原点 且 12 3FMF M 则该双曲线的离 心率为 A 31 2 B 31 C 62 2 D 62 9 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 动点 P 在 ABCD 内 且到直线 AA1 BB1的距离之 和等于2 3 则 PAB 的面积最大值是 A 2 2 B 1C 2 D 2 10 某四面体三视图如图所示 则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是 A 5 2 B 2 C 3 5 5 D 3 2 11 若圆 C 22 2xayb 与两条直线y x 和y x 都有公共点 则 22 ab 的范 围是 A 2 4B 0 4C 4 D 2 12 已知正方体 1111 ABCD ABC D的体积为 1 则四棱锥 1111 B ABC D与四棱锥 1111 A ABC D 重叠部分的体积是 A 1 8 B 1 6 C 5 24 D 7 24 答案第 3页 总 21页 二 填空题二 填空题 13 如图 一个抛物线型拱桥 当水面离拱顶4m时 水面的宽6m 经过一段时间的降雨后 水面上升1m了 此时水面宽度为 m 14 我们知道 在平面内 点 00 xy到直线0AxByC 的距离公式为 22 AxByC d AB 通过类比的方法 可求得在空间中 点 2 4 1 到平面 2230 xyz 的距离为 15 已知在三棱锥ABCD 中 2 ABADBD 2 7BCCDAC 则三 棱锥ABCD 外接球的表面积为 16 平面直角坐标系xoy中 动点P到两个顶点 1 1 0 F 和 2 1 0 F的距离之积等于 8 记 点P的轨迹为曲线E 则下列命题中真命题的序号是 1 曲线E经过坐标原点 2 曲线E关于x轴对称 3 曲线E关于y轴对称 4 若点 x y在曲线E上 则33x 三 解答题三 解答题 17 已知命题 p 方程 22 1 21 xy mm 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线 命题 q 方程 2 44210 xmx 无实根 若 p 或 q 为真 q 为真 求实数 m 的取值范围 18 设正数列 n a的前n项和为 n S 且21 nn Sa 1 求数列 n a的通项公式 2 若数列 3 2 n n a b 设 n T为数列 1 1 nn b b 的前n项的和 求 n T 19 如图 在五边形ABCDE中 ABBC AEBCFD F为AB的中点 22ABFDBCAE 现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60 的二面角 答案第 4页 总 21页 1 求证 直线 CE平面ABF 2 求二面角ECDF 的平面角的余弦值 20 在平面直角坐标系xOy中 已知ABC 的顶点坐标分别是 0 0A 2 2B 1 3C 记ABC 外接圆为圆M 1 求圆M的方程 2 在圆M上是否存在点P 使得 22 4PAPB 若存在 求点P的个数 若不存在 说 明理由 21 已知直线 14 23 3 12 0 k xk ykkR 所经过的定点F恰好是椭圆C的 一个焦点 且椭圆C上的点到点F的最大距离为8 1 求椭圆C的标准方程 2 已知圆 22 1O xy 直线 1l mxny 试证明当点 P m n在椭圆C上运动时 直 线l与圆O恒相交 并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围 22 设顶点在原点 焦点在x轴上的拋物线过点 1 2P 过P作抛物线的动弦PA PB 并设它们的斜率分别为 PA k PB k 求拋物线的方程 若0 PAPB kk 求证 直线AB的斜率为定值 并求出其值 III 若1 PAPB kk 求证 直线AB恒过定点 并求出其坐标 答案第 5页 总 21页 参考答案参考答案 1 C 解析 分析 由于 2 0c 所以已知条件即是ab 结合指数函数和幂函数的性质 利用特殊值 对四个 选项逐一进行判断 详解 由于 2 0c 所以已知条件等价于ab 对于A选项 22 12 故 A 选项错误 已知条 件中 a b可能是负数 故 B 选项错误 根据 1 2 x y 为减函数可知 C 选项正确 当2n 时 22 12 故 D 选项错误 综上所述 选 C 点睛 本小题主要考查不等式的性质 考查指数函数和幂函数的单调性 由于题目是选择题 故可 用特殊值进行排除 属于基础题 2 A 解析 分析 用等比数列的基本量 1 a q可将 13 aa 转化为 2 11 aa q 求公比q的取值范围 进而可得 14 aa 不一定成立 同理将 14 a a转化为基本量 1 a q 可证由 14 aa 能推 出 13 aa 详解 如果 13 aa 那么 22 11 11aa qqq 或1q 因为 3 41 aa q 当1q 时 3 41 0aa q 因为 1 0a 所以 14 aa 所以 13 aa 不是 14 aa 的充分条件 由 14 aa 可得 3 11 aa q 因为 1 0a 所以 3 1q 解得1q 所以 2 1q 所以 2 311 aa qa 答案第 6页 总 21页 故 13 aa 是 14 aa 的必要条件 点睛 解决有关数列的问题可将条件转化为基本量 来求基本量的取值或范围 进 而可解决问题 本题考查学生的转化能力 3 C 解析 分析 计算得到准线方程为 1 16 y 根据P到焦点的距离为 1 计算得到答案 详解 22 1 4 4 yxxy 准线方程为 1 16 y P到焦点的距离为 1 则P到准线 1 16 y 的距离为 1 点P的纵坐标为 15 16 故选 C 点睛 本题考查了抛物线的距离问题 将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键 4 D 解析 分析 利用已知条件列出方程组 求出 a b 即可得到椭圆方程 详解 由题意可得 222 12 7 4 ab c a abc 解得4 3ab 因为椭圆的焦点在x轴上 所以椭圆方程为 22 1 169 xy 故选 D 点睛 答案第 7页 总 21页 该题考查的是有关椭圆方程的求解问题 涉及到的知识点有椭圆的几何性质 椭圆的面积 属于简单题目 5 A 解析 分析 利用直线和平面平行和垂直的性质依次判断每个选项得到答案 详解 A mmn nm A正确 B mn nm 可以得到 或 B错误 C nnmm 可以得到 或 C错误 D mmnn D错误 故选 A 点睛 本题考查了直线平面垂直平行的性质 意在考查学生的推断能力 6 A 解析 分析 求出抛物线的焦点坐标 得到双曲线的离心率 然后求解 a b 关系 即可得到双曲线的渐 近线方程 详解 抛物线 y2 2px p 0 的焦点坐标为 1 0 则 p 2 又 e p 所以 e c a 2 可得 c2 4a2 a2 b2 可得 b 3 a 所以双曲线的渐近线方程 为 y 3x 故选 A 点睛 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法 涉及抛物线的简单性质的应用 7 D 解析 答案第 8页 总 21页 分析 等价于二次函数 2 2 0 3 f xxxa x 的最大值不小于零 即可求出答案 详解 设 2 2 0 3 f xxxa x 0 3 x 使得不等式 2 20 xxa 成立 须 max 0f x 即 0 0fa 或 3 30fa 解得3a 故选 D 点睛 本题考查特称命题成立求参数的问题 等价转化是解题的关键 属于基础题 8 B 解析 试题分析 令 0012 0 0 0 0M xyFcFcO 又 11 0FMOFOM 所以 1 OFOM 且 1FMOFOM 那么 12 MFF 为直角三角形 且有 12 3FMF M 又 12 2FFc 所以MFc 1 3MFc 由双曲线的定义知32cca 得 2 3 1 3 1 c e a 考点 1 向量的坐标运算 2 双曲线的定义与几何性质 9 C 解析 分析 先确定动点 P 的轨迹方程 根据动点 P 的轨迹方程可知 PAB 的 AB 边上的高 当 PA PB 时最大 这时 PA PB 3 即可求出 PAB 的面积最大值 详解 解 AA1和 BB1都 面 ABCD P 到直线 AA1 BB1的距离就是 PA 和 PB PA PB 2 3 所以动点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 由椭圆的性质可知 答案第 9页 总 21页 PAB 的 AB 边上的高 当 PA PB 时最大 这时 PA PB 3 最大的高 22 1 4 PAAB 2 最大面积 1 2 2 2 2 故选 C 点睛 本题考查 PAB 的面积最大值 考查点到直线距离的计算 属于中档题 10 D 解析 分析 由三视图可知 该四面体为是一个侧面是等腰三角形且与底面垂直 底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形 由三视图中数据求出各棱长 进而可得结果 详解 由三视图得该四面体的直观图如图 图中三角形ABC是等腰三角形 且三角形的中线AO是ABCD 的高为 2 底面为BCD 是直角边为 2 的等腰直角三角形 6 条棱长分别是2BCCD 5 2 2 3ABACBDAD 该四面体最长的棱长与最短的棱长分别为 3 2 该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是 3 2 故选 D 点睛 答案第 10页 总 21页 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力 属于难题 三 视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型 也是高考热点 观察三视图并将其 翻译 成 直观图是解题的关键 不但要注意三视图的三要素 高平齐 长对正 宽相等 还要特别注 意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 对简单组合体三视图问题 先看俯视图确定底面的形状 根据正视图和侧视图 确定组合体的形状 11 B 解析 分析 根据有公共交点得到 22 24aabb 和 22 24aabb 相加得到答案 详解 圆 C 22 2xayb 与两条直线y x 和y x 都有公共点 22 2224 2 ab abaabb 22 2224 2 ab abaabb 两式相加得到 22 04ab 故选 B 点睛 本题考查了直线和圆的位置关系 意在考查学生的计算能力 12 C 解析 分析 如图所示 画出重叠部分的图像如图 2 利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到答案 详解 如图所示 G为 1 AB和 1 AB交点 H为 1 AC和 1 B