1 河南名校 2016 届高三暑期大冲关 13 文科数学 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 A x x2 2x 30 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 2 则 4 f 的值为 A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 10 已知双曲线 22 22 1 xy ab 过其左焦点F作圆 222 xya 的两条切线 切点记作C D 原点为O 2 3 COD 其双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 3 D 2 3 3 11 已知直线10mxym 上存在点 x y满足 30 230 1 xy xy x 则实数m的取值范围为 A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 1 2 D 1 1 2 12 已知函数 yf x 是定义域为的偶函数 当0 x 时 5 sin 0 x2 44 1 1 x2 2 x x f x 若关于的方程 2 0f xaf xb a bR 有且仅有 6 个不同实数根 则实数a 的取值范围是 A 5 1 2 B 59 24 C 599 1 244 D 9 1 4 第 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个考生都必 须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 从编号为 0 1 2 79 的 80 件产品中 采用系统抽样的方法抽取容量是 10 的样本 3 若编号为 58 的产品在样本中 则该样本中产品的最大编号为 14 若一个球的表面积为100 现用两个平行平面去截这个球面 两个截面圆的半径为 12 4 3rr 则两截面间的距离为 15 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 3a 且满足 1 1 nn Sa 则 7 a 16 设二次函数 2 f xaxbxc a b c为常数 的导函数为 fx 对任意xR 不等 式 f x fx 恒成立 则 2 22 b ac 的最大值为 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 满足 b2 c2 bc a2 1 求角 A 的大小 2 已知等差数列 an 的公差不为零 若 a1cosA 1 且 a2 a4 a8成等比数列 求 4 anan 1 的前 n 项和 Sn 18 本小题满分 12 分 ALS 冰桶挑战赛 是一项社交网络上发起的筹款活动 活动规定 被邀请者要么在 24 小时内接受挑战 要么选择为慈善机构捐款 不接受挑战 并且不 能重复参加该活动 若被邀请者接受挑战 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的 视频内容 然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动 假设每个人接受挑战与不接受挑 战是等可能的 且互不影响 1 若某参与者接受挑战后 对其他 3 个人发出邀请 则这 3 个人中至少有 2 个人接 受挑战的概率是多少 2 为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关 某调查机构进行了随机抽样调查 调查得到如下22 列联表 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计 70 30 100 根据表中数据 能否有 90 的把握认为 冰桶挑战赛与受邀者的性别有关 附 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0 100 0 050 0 010 0 001 0 k 2 706 3 841 6 635 10 828 4 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥SABCD 中 ABCD BCCD 侧面SAB为等边 三角形 2 1 7ABBCCDSD 1 证明 平面SAB 平面ABCD 2 求点A到平面 SDC 的距离 20 本小题满分 12 分 设抛物线 C 2 2 0 xpy p 的准线被圆 O 22 4xy 所截得 的弦长为15 1 求抛物线 C 的方程 2 设点 F 是抛物线 C 的焦点 N 为抛物线 C 上的一动点 过 N 作抛物线 C 的切线交 圆 O 于 P Q 两点 求FPQ 面积的最大值 21 本小题满分 12 分 设函数 2 lnf xaxbx 其图象在点 22Pf 处切线的斜率为 3 1 求函数 f x的单调区间 用只含有b的式子表示 2 当2a 时 令 g xf xkx 设 1 x 2 x 12 xx 是函数 0g x 的两个根 0 x 是 1 x 2 x的等差中项 求证 0 0g x g x为函数 g x的导函数 5 请考生从 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 已知Rt ABC 90A 的外接圆为圆O 过A的切线AM交BC于点M 过 M作直线交 AB AC于点 D E 且ADAE 1 求证 MD平分角AMB 2 若ABAM 求 MC MA 的 值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 45cos 55sin xt yt t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 sin2 1 把 1 C的参数方程化为极坐标方程 2 求 1 C与 2 C交点的极坐标 20 0 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 来源 学科网 ZXXK 已知函数12 xxf axxg 1 当0 a时 解不等式 xgxf 2 若存在Rx 使得 xgxf 成立 求实数a的取值范围 E D M O B C A 6 18 解 这 3 个人接受挑战分别记为 A B C 则 A B C分别表示这 3 个人不接受挑战 这 3 个人参与该项活动的可能结果为 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 共有 8 种 2 分 其中 至少有 2 个人接受挑战的可能结果有 A B C A B C A B C A B C 共有 4 种 4 分 根据古典概型的概率公式 所求的概率为 41 82 P 6 分 说明 若学生先设 用 x y z中的 x y z依次表示甲 乙 丙三人接受或不接受挑战的情 况 再将所有结果写成 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 不扣分 根据22 列联表 得到 2 的观测值为 k 22 10045 1525 15 25 1 79 6040703014 n adbc abcdacbd 10 分 说明 k表示成 2 K不扣分 因为1 792 706 所以没有 90 的把握认为 冰桶挑战赛与受邀者的性别有关 12 分 19 解 1 如图取AB中点O 连结DO SO 依题意四边形BCDO为矩形 2DOCB 7 侧面 SAB 为等边三角形 2 AB 则SOAB 2 分 且3SO 而7SD SOD 满足 222 SDSOOD SOD 为直角三角形 即SOOD 4 分 SO 平面ABCD 5 分 平面SAB 平面ABCD 6 分 2 由 1 可知SO 平面ABCD 则 SOCD ODCD CD 平面SOD CDSD 17 22 SDC SSD CD 8 分 由题意可知四边形ABCD为梯形 且BC为高 所以 1 1 2 ADC SCD BC 9 分 设点A到平面SDC的距离为h 由于 SADCA SDC VV 则有 11 33 ADCSDC SSOSh 来源 Z xx k Com 117 13 332 h 10 分 2 21 7 h 因此点A到平面SDC的距离为 2 21 7 12 分 S A B D C S A B D C O S A B D C S A B D C O 8 所以 FPQ 的面积 S 1 2 PQ d 2 1 t 4 42 2 1 41616 4 1 4 t tt t 22 1 8 80 4 t 1 805 4 11 分 来源 Zxxk Com 当2 2t 时取到 经检验此时直线 PQ 与圆 O 相交 满足题意 综上可知 FPQ 的 面积的最大值为5 12 分 21 解 1 函数 f x的定义域为 0 2 a fxbx x 则 243 2 a fb 即86ab 于是 2 286bxb fx x 2 分 当0b 时 6 0fx x f x在 0 上是单调减函 当0b 时 令 0fx 得 43b x b 负舍 所以 f x在 43 0 b b 上是单调减函数 在 43b b 上是单调增函数 当0b 时 若 3 0 4 b 则 0fx 恒成立 f x在 0 上单调减函数 若 3 4 b 令 0fx 得 43b x b 负舍 所以 f x在 43 0 b b 上单调增函数 在 43b b 上单调减函数 综上 若0b f x的单调减区间为 43 0 b b 单调增区间为 43b b 若 3 0 4 b f x的单调减区间为 0 来源 学科网 若 3 4 b f x的单调增区间为 43 0 b b 单调减区间为 43b b 6 分 2 因为286aab 所以1b 即 2 2lng xxxkx 因为 g x的两零点为 1 x 2 x 则 2 111 2 222 2ln0 2ln0 xxkx xxkx 相减得 22 121212 2 lnln0 xxxxk xx 因为 12 xx 所以 12 12 12 2 lnlnxx kxx xx 于是 12 00 01212 2 lnln24 2 xx g xxk xxxxx 9 1 12 21 12 12121212 2 21 2 22 lnlnln 1 x xxxx xx xxxxxxxx x 10 分 令 1 2 0 1 x tt x 214 ln2ln 11 t ttt tt 则 2 22 141 0 11 t t t tt t 则 t 在 01 上单调递减 则 10t 又 12 2 0 xx 则 0 0g x 命题得证 12 分 22 证明 1 由ADAE 得ADEAED ADEABMBMD AEDEAMAME AM是切线 EAMABM BMDAMD MD平分角 AMB 2 由ABAM 得ABMAMCMAC 由90ABCACB 即90ABCAMBMAC 30ABC 由 MCAC AMCBMA MAAB 由 3 tan 3 AC ABC AB 23 解 将 ty tx sin55 cos54 消去参数t 化为普通方程25 5 4 22 yx 2 分 即 1 C 016108 22 yxyx 将 sin cos y x 代入016108 22 yxyx得 016sin10cos8 2 5 分 2 C的普通方程为02 22 yyx 由 02 016108 22 22 yyx yxyx 解得 1 1 y x 或 2 0 y x 8 分 所以 1 C与 2 C交点的极坐标分别为 4 2 2 2 10 分 24 解 当0 a时 由 xgxf 得xx 12 2x 1 x 两边平方整理得 0143 2 xx 解得 3 1 1 xx或 原不等式的解集为 3 1 1 5 分 10 由 xgxf 得xxa 12 令 xxxh 12 即 0 1 0 2 1 13 2 1 1 xx xx xx xh 7 分 故 2 1 2 1 min hxh 故可得到所求实数a的范围为 2 1 10 分