1 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无 效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 02A 21012B 则ABI A 02 B 12 C 0 D 21012 2 设 1i 2i 1i z 则 z A 0 B 1 2 C 1D 2 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下 饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2 4 已知椭圆C 22 2 1 4 xy a 的一个焦点为 2 0 则C的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 1 O 2 O 过直线12 O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形 则该圆柱的表面积为 A 12 2 B 12 C 8 2 D 10 6 设函数 32 1fxxaxax 若fx 为奇函数 则曲线 yfx 在点 00 处的切线方程 为 A 2yxB yx C 2yxD yx 7 在 ABC中 AD为 BC 边上的中线 E为AD的中点 则 EB uu u r A 31 44 ABAC uuu ruuu r B 13 44 ABAC uuu ruuu r C 31 44 ABAC uuu ruuu r D 13 44 ABAC uuu ruuu r 8 已知函数 22 2cossin2fxxx 则 A fx的最小正周期为 最大值为3 B fx的最小正周期为 最大值为4 C fx 的最小正周期为2 最大值为3 D fx的最小正周期为2 最大值为4 9 某圆柱的高为2 底面周长为16 其三视图如右图 圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B 则 在此圆柱侧面上 从 M到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 17B 2 5 C 3D 2 10 在长方体 1111 ABCDA B C D中 2ABBC 1 AC与平面 11 BB C C所成的角为30 则该 长方体的体积为 A 8B 6 2 C 8 2 D 8 3 11 已知角的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边上有两点1Aa 2Bb 且 3 2 cos2 3 则ab A 1 5 B 5 5 C 2 5 5 D 1 12 设函数 20 10 x x fx x 则满足 12fxfx 的x的取值范围是 A 1 B 0 C 10 D 0 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知函数 2 2 logfxxa 若31f 则 a 14 若 xy 满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则32zxy 的最大值为 15 直线1yx与圆 22 230 xyy交于 AB 两点 则AB 16 ABC的 内 角 ABC 的 对 边 分 别 为 abc 已 知sinsin4 sinsinbCcBaBC 222 8bca 则 ABC的面积为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 已知数列 n a满足 1 1a 1 21 nn nana 设 n n a b n 1 求 123 bbb 2 判断数列 n b是否为等比数列 并说明理由 3 求 n a的通项公式 学 科网 18 12 分 如图 在平行四边形ABCM 中 3ABAC 90ACM 以 AC 为折痕将 ACM折起 使点 M到达点D的位置 且ABDA 1 证明 平面ACD 平面 ABC 2 Q 为线段AD上一点 P为线段 BC 上一点 且 2 3 BPDQDA 求三棱锥QABP 的体积 4 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据 单位 m 3 和使用了节水龙头 50 天的日用水 量数据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日 用 水 量 00 1 0 10 2 0 20 3 0 30 4 0 40 5 0 50 6 0 60 7 频 数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 00 1 0 10 2 0 20 3 0 30 4 0 40 5 0 50 6 频数1 5 13 10 16 5 1 在答题卡上作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图 5 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于0 35 m 3 的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按365 天计算 同一组中的数据以 这组数据所在区间中点的值作代表 20 12 分 设抛物线 2 2Cyx 点 20A 20B 过点A的直线 l 与 C 交于M N 两点 1 当 l 与x轴垂直时 求直线BM的方程 2 证明 ABMABN 21 12 分 已知函数eln1 x fxax 1 设2x是 fx 的极值点 求 a 并求fx 的单调区间 2 证明 当 1 e a 时 0fx 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 1 C 的方程为 2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极 坐标系 曲线 2 C 的极坐标方程为 2 2cos3 0 1 求 2 C 的直角坐标方程 2 若 1 C 与 2 C 有且仅有三个公共点 求 1 C 的方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 6 已知 11fxxax 1 当1a时 求不等式 1fx 的解集 2 若 01x 时不等式 fxx成立 求a的取值范围 7 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D 二 填空题 13 7 14 6 15 2 216 23 3 三 解答题 17 解 1 由条件可得an 1 2 1 n n a n 将n 1 代入得 a2 4a1 而a1 1 所以 a2 4 将n 2 代入得 a3 3a2 所以 a3 12 从而b1 1 b2 2 b3 4 2 bn 是首项为1 公比为2 的等比数列 由条件可得 12 1 nnaa nn 即bn 1 2bn 又b1 1 所以 bn 是首项为1 公比为2 的等比数列 3 由 2 可得 1 2 n na n 所以an n 2 n 1 18 解 1 由已知可得 BAC 90 BAAC 又BA AD 所以AB 平面ACD 又AB平面ABC 所以平面ACD 平面ABC 2 由已知可得 DC CM AB 3 DA 3 2 又 2 3 BPDQDA 所以22BP 8 作QE AC 垂足为E 则 QE P 1 3 DC 由已知及 1 可得DC 平面ABC 所以QE 平面ABC QE 1 因此 三棱锥QABP 的体积为 111 132 2sin451 332 QABPABPVQES 19 解 1 2 根据以上数据 该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于0 35m 3 的频率为 0 2 0 1 1 0 1 2 6 0 1 2 0 05 0 48 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0 35m 3 的概率的估计值为0 48 3 该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为 1 1 0 0510 1530 2520 3540 4590 55260 655 0 48 50 x 该家庭使用了节水龙头后50 天日用水量的平均数为 2 1 0 0510 1550 25 130 35 100 45 160 555 0 35 50 x 估计使用节水龙头后 一年可节省水 3 0 480 35 36547 45 m 20 解 1 当l与x轴垂直时 l的方程为x 2 可得M的坐标为 2 2 或 2 2 所以直线BM的方程为y 1 1 2 x或 1 1 2 yx 2 当l与x轴垂直时 AB为MN的垂直平分线 所以 ABM ABN 当l与x轴不垂直时 设l的方程为 2 0 yk xk M x1 y1 N x2 y2 则x1 0 x2 0 9 由 2 2 2 yk x yx 得ky 2 2y 4k 0 可知 y1 y2 2 k y1y2 4 直线BM BN的斜率之和为 12211212 1212 2 22 2 2 BMBN yyx yx yyy kk xxxx 将 1 1 2 y x k 2 2 2 y x k 及y1 y2 y1y2的表达式代入 式分子 可得 1212 211212 24 88 2 0 y yk yy x yx yyy kk 所以kBM kBN 0 可知BM BN的倾斜角互补 所以 ABM ABN 综上 ABM ABN 21 解 1 f x 的定义域为 0 f x ae x 1 x 由题设知 f 2 0 所以a 2 1 2e 从而f x 2 1 eln1 2e x x f x 2 11 e 2e x x 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 所以f x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 2 当a 1 e 时 f x e ln1 e x x 设g x e ln1 e x x 则 e1 e x gx x 当 0 x 1 时 g x 1 时 g x 0 所以x 1是g x 的最小值点 故当x 0 时 g x g 1 0 因此 当 1 e a时 0f x 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解 1 由cosx siny得 2 C 的直角坐标方程为 22 1 4xy 2 由 1 知 2 C 是圆心为 1 0 A 半径为 2的圆 由题设知 1 C 是过点 0 2 B且关于 y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l y轴左边的射线 为 2 l 由于B在圆 2 C 的外面 故 1 C 与 2 C 有且仅有三个公共点等价于 1 l 与 2 C 只有一个公共点且 2 l 与 2 C 有两个公共点 或 2 l 与 2 C 只有一个公共点且 1 l 与 2 C 有两个公共点 10 当 1 l 与2 C 只有一个公共点时 A到1 l 所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故 4 3 k或0k 经检验 当0k时 1 l 与 2 C 没有公共点 当 4 3 k时 1 l 与 2 C 只有一个公共点 2 l 与 2 C 有两个公 共点 当 2 l 与 2 C 只有一个公共点时 A到2 l 所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故0k或 4 3 k 经检验 当0k时 1 l 与 2 C 没有公共点 当 4 3 k时 2 l 与 2 C 没有公共点 综上 所求 1C的方程为 4 2 3 yx 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 解 1 当1a时 1 1 f xxx 即 2 1 2 11 2 1 x f xxx x 故不等式 1f x的解集为 1 2 x x 2 当 0 1 x时 1 1 xaxx 成立等价于当 0 1 x时 1 1ax成立 若0a 则当 0 1 x时 1 1ax 若0a 1 1ax的解集为 2 0 x a 所以 2 1 a 故02a