第二章 平面向量 2 1 平面向量的实际背景及基本概念 1 了解平面向量的实际背景 2 掌握向量的几何表示 3 理解向量的有关概念 4 逐步培养学生观察 分析 综合和类比的能力和 知 识重组 意识和 数形结合 能力 同学们都知道 数学是一门基础学科 是解决其它 一些学科问题的有力工具 其实数学的很多理论是由其它 学科的一些知识抽象而来的 成为理论后又反过来对其它 学科起作用 比如同学们学习的物理 它与数学就有非常 密切的关系 请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方 向的量 向量的物理背景与概念 在现实现实 生活中 我们们会遇到很多量 其中一些量在 取定单单位后用一个实实数就可以表示出来 如长长度 质质量 等 还还有一些量 如我们们在物理中所学习习的位移 力是既 有大小又有方向的量 例如 物体受到的重力是竖竖直向 下的 图图2 1 1 物体的质量越大 它受到的重力越大 物体在液体中受到的浮力是竖直向上的 图2 1 2 物体浸在液体中的体积越大 它受到的浮力越大 被拉 长的弹簧的弹力是向左的 图2 1 3 被压缩的弹簧的 弹力是向右的 图2 1 4 并且在弹性限度内 弹簧拉 长或压缩的长度越大 弹力越大 我们可以对位移 力 这些既有大小又有方向的量 进行抽象 形成一种新的量 这种量就是我们本章所要研 究的 向量 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 物 理学中常称为矢量 而把那些只有大小 没有方向的量如年龄 身高 长 度 面积 体积 质量等 称为数量 物理学中常称为标量 注意 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 双 重性 不能比较大小 向量的几何表示 由于实实数与数轴轴上的点一一对应对应 所以数量常常用 数轴轴上的一个点表示 而且不同的点表示不同的数量 对对于向量 我们们常用带带箭头头的线线段 有向线线段来 表示 线线段按一定比例 标标度 画出 它的长长短表示向 量的大小 箭头头的指向表示向量的方向 的长长度 记记作 有向线线段 带带有方向的线线段叫有向线线段 如图图 我们们在 有向线线段的终终点处处画上箭头头表示它的方向 以A为为起点 B 为终为终 点的有向线线段记记作 起点写在终点的前面 A 起点 B 终终点 已知 线线段AB的长长度也叫做有向线线段 有向线段的三要素 起点 方向 长度 知道了有向线段的起点 方向和长度 它的终点就可以唯一确定 用字母 等表示 向量的表示方法 几何表示 用有向线线段表示 字母表示 用表示向量的有向线线段的起点与终终点字 母表示如 问题1 向量就是有向线段 有向线段就是向量 的说 法对吗 不对 向量是自由向量 只有大小和方向两个要素 与 起点无关 只要大小和方向相同 则这两个向量就是相同 的向量 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点 不同 尽管大小和方向相同 也是不同的有向线段 向量的长长度 或称模 向量 的大小 也就是向量 的长长度 或称模 记记作 零向量 单单位向量概念 长长度为为0的向量叫零向量 记记作 注意 与0的区别 及书写方法 长长度等于1个单单位的向量 叫单单位向量 说说明 零向量 单单位向量的定义义都是只限制大小 不 确定方向 例1 如图 试根据图中的比例尺以及三地的位置 在图中 分别用向量表示A地至B C两地的位移 并求出A地至B C 两地的实际距离 精确到1km 1 8000000 解 表示A地至B地的位移 且 240km 表示A地至C地的位移 且 300km 相等向量与共线向量 平行向量 平行向量定义义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规们规 定 与任一向量平行 说说明 1 综综合 才是平行向量的完整定义义 2 向量 平行 记作 O A B C 共线向量定义 平行向量也叫做共线向量 这是因为任一组平行向 量都可移到同一直线上 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于 两平行线的位置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同 一直线上的线段的位置关系 a b c a b c A1B1 A2B2 A3B3 A4B4 A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 相等向量定义义 长长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 1 向量 与 相等 记作 2 零向量与零向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线线段来表示 并且与 有向线线段的起点无关 在平面上 两个长长度相等且指向一致的有向线线段表 示同一个向量 因为为向量完全由它的方向和模确定 问题问题 2 两个向量是否可以比较较大小 向量不能比较大小 我们知道 长度相等且方向相 同的两个向量表示相等向量 但是两个向量之间只有相 等关系 没有大小之分 对于向量 或 这种说法是错误的 例2 如图 设O是正六边形ABCDEF的中心 分别写出图中与 相等的向量 O A B C DE F 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 向量 与 是共线向量 则A B C D 四点必在一直线上 单位向量都相等 任一向量与它的相反向量 长度相同 方向相反的向 量 不相等 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 2 下面几个命题 3 若 a b 则a b 2 若 a 0 则a 0 a b a b 4 两个向量a b相等的等价条件是 1 若a b b c 则a c A 0 B 1 C 2 D 3 其中正确的个数是 5 若A B C D是不共线的四点 则AB DC是四边形ABCD 是平形四边形的充要条件 C A BCD F E M 解 1 DE BF FB FA AF ED MC 2 FB AF MC 3 如图 D E F分别是 ABC各边上的中点 四边形BCMF是平 行四边形 请分别写出 1 与CM模相等且共线的向量 2 与ED相等的向量 4 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P 那么 它们的终点的集合组成什么图形 P 零向量 单位向量概念 向量的概念 向量的表示方法 共线向量与平行向量关系 平行向量的定义 相等向量的定义 无论哪个时代 青年的特点总是怀抱着名 种理想和幻想 这并不是什么毛病 而是 一种宝贵品质 加里宁