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历届真题专题一、选择题:1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是(A)14 (B)16 (C)17 (D)19【答案】 B【解析】:作出可行域,为整数,所以,故选.2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数,则“”是的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为(),(), (), (),【答案】B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.值分别为2,2.故选B.4. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件9. (2011年高考天津卷理科8)对实数与,定义新运算“”: 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是( )A B C D.11. (2011年高考江西卷理科3)若,则的定义域为 A. B. C. D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.12. (2011年高考江西卷理科4)若,则的解集为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.13. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为 A. B. C. D. 14. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上动点,点A的坐标为(,1)则的最大值为( )A. B. C.4 D.3【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,,所以就是求的最大值,表示数形结合观察得当点M在点B的地方时,才最大。等式,则z的取值范围为A.2,2B. 2,3C. 3,2D. 3,3答案:D解析:因为,故,即,可得,又因为,其图像为四条直线所围成的正方形面,由线性规划可计算得当时,取到,当,取到,所以选D.16(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足,且,则称与互补,记那么是与b互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C 解析:由,即,故,则,化简得,即ab=0,故且,则且,故选C.17.(2011年高考重庆卷理科2) “”是“”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:选D. 设,则方程在区间(0,1)内有两个不同的根等价于,因为,所以,故抛物线开口向上,于是,令,则由,得,则,所以m至少为2,但,故k至少为5,又,所以m至少为3,又由,所以m至少为4,依次类推,发现当时,首次满足所有条件,故的最小值为1325(2011年高考上海卷理科15)若,且,则下列不等式中,恒成立的是( )A B C D【答案】D二、填空题:1.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数,若则的最大值是 .。【答案】【解析】, ,故的最大值为2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量满足约束条件则的最小值为 。答案: -6 解析:如图可知最优解是(4,-5),所以,点评:本题考查线性规划问题,求最优解事先要准确画出线性区域是关键。3(2011年高考天津卷理科13)已知集合,则集合=_【答案】【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.4. (2011年高考湖南卷理科10)设,且,则的最小值为 .6.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、,即为P、Q两点,所以线段PQ长为,当且仅当时等号成立,故线段PQ长的最小值是4.7(2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。【答案】或三、解答题:1.(2011年高考安徽卷理科19)(本小题满分12分)()设证明,(),证明.()设,由换底公式得,故要证:只要证明:,其中,由()知所要证明的不等式成立。【解题指导】:证明不等式常规的方法有分析法,综合法,作差法和作商法,无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。第二问的处理很有艺术性,借助第一问题的结论巧妙地解决了,这也是一题多问的问题解决常规思路,前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。2(2011年高考广东卷理科21)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。(1)过点作L的切线教y轴于点B证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b0,a0过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X证明:M(a,b) X;(3)设D= (x,y)|yx-1,y(x+1)2-当点(p,q)取遍D时,求的最小值 (记为)和最大值(记为)【解析】解:(1)证明:切线的方程为当当 (2)的方程分别为求得的坐标,由于,故有1)先证:()设当当()设当注意到 (3)求得的交点而是的切点为的切线,且与轴交于,由()线段Q1Q2,有当在(0,2)上,令由于在0,2上取得最大值故,故3. (2011年高考湖北卷理科17)(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米,/小时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度的一次函数.()当时,求函数的表达式;()当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)4. (2011年高考湖北卷理科21)(本小题满分14分)()已知函数,求函数的最大值;()设均为正数,证明:(1)若,则;(2)若,则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及化归与转化的思想. 解析:()的定义域为,令,解得,当时,在(0,1)内是增函数;当时,在内是减函数;故函数在处取得最大值()(1)由()知,当时,有,即,从而有,得,求和得,即.(2)先证.令,则,于是由(1)得,即.再证.记,令,则,于是由(1)得.即,综合,(2)得证.5.(2011年高考全国卷理科22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)()设函数,证明:当时,;()从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:法二:所以是上凸函数,于是因此故综上:【2010年高考试题】(2010浙江理数)(7)若实数,满足不等式组且的最大值为9,则实数(A) (B) (C)1 (D)2(2010江西理数)3.不等式 高考资源*网的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。(2010重庆理数)(7)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析:考察均值不等式,整理得 即,又,(2010重庆理数)(4)设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A.2 B. 4 C. 6 D. 8 解析:不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B(3,0)的时候,z取得最大值6(2010北京理数)(7)设不等式组 表示的平面区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点,则a 的取值范围是 (A)(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案:A(2010四川理数)(12)设,则的最小值是(A)2 (B)4 (C) (D)5解析:0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案:B(2010四川理数)(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱则 目标函数z280x300y结合图象可得:当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案:B(2010全国卷1理数)(8)设a=2,b=ln2,c=,则(A) abc (B)bca (C) cab (D) cba(2010全国卷1理数)(2010山东理数)(2010福建理数)8设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A B4 C D2【答案】B【解析】由题意知,所求的的最小值,即为区
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