学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)学业达标1求平摆线(0t2)与直线y1的交点的直角坐标【解】由题意知，y1cos t1，cos t0，sin t1，t2k(kZ)，又0t2，t.x1.交点的直角坐标为(1,1)2已知圆的渐开线(为参数，02)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积【解】把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积Sr2329.3已知摆线的生成圆的直径为80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高【解】因为摆线的生成圆的半径r40 mm，所以此摆线的参数方程为它一拱的拱宽为2r24080(mm)，拱高为2r24080(mm)4抛物线y22x6ysin 9cos28cos 90，求顶点的轨迹的普通方程【解】抛物线方程可化为(y3sin )22(x4cos )，所以其顶点的参数方程为普通方程为1.5已知椭圆(为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求PF1F2的重心G的轨迹方程【解】F1(3,0)、F2(3,0)，设P(5cos ，4sin )、G(x，y)，所以G的轨迹方程为(为参数，sin 0)6如图449，已知半圆x2y21(y0)，定点A(2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线【导学号：98990040】图449【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，xOB(0)，则B(cos ，sin )，(cos 2，sin )，(x02，y0)由且|，得解得因为P是BD的中点，所以(0)消去，得点P的轨迹方程是(x1)2(y1)2(x，y)，它表示以(1,1)为圆心，为半径的半圆的一部分7如图4410所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度(以弧度为单位)为参数求半径为2的圆的摆线的参数方程图4410【解】当圆滚过角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，ABM.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2，从而B点坐标为(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )动点M的坐标为(x，y)，向量(x，y)，所以这就是所求摆线的参数方程能力提升8求半径为4的圆的渐开线的参数方程【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则AM4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos ，4sin )由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程资