【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 基本初等函数（）章末复习提升 新人教A版必修11指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化2指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，)两个区间取值时函数的单调性及图象特点3应用指数函数yax和对数函数ylogax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a1和0a1两种情况的讨论4幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决5理解幂函数的概念、图象和性质在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数分两种情况进行讨论，即分0和0两种情况6比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较7求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间8函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果题型一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用例1(1)化简；(2)计算：2log32log3log3825.解(1)原式abaaba.(2)原式log34log3log385log3(48)5log399297.跟踪演练1(1)求516的值(2)已知x1，且xx16，求xx.解(1)5162(24)2811.(2)2xx12624，又x1，xx0，xx2.题型二指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用例2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域解(1)先作出当x0时，f(x)x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x(，0)时的图象(2)函数f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1跟踪演练2(1)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为()A0 B1 C2 D3(2)函数y的图象大致是()答案(1)C(2)C解析(1)g(x)x24x4(x2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)ln x与g(x)(x2)2的图象(如图)由图可得两个函数的图象有2个交点(2)由3x10得x0，函数y的定义域为x|x0，可排除选项A；当x1时，y0，可排除选项B；当x2时，y1，当x4时，y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.题型三比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，1等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决例3设alog3，b0.2，c2，则()Aabc BcbaCcab Dbac答案A解析alog30,0b0.21，c21，故有abc.跟踪演练3(1)下列不等式成立的是()Alog32log23log25Blog32log25log23Clog23log32log25Dlog23log25log32(2)已知0a1，xlogaloga，yloga5，zlogaloga，则()Axyz BzyxCyxz Dzxy答案(1)A(2)C解析(1)由于log31log32log33，log22log23log25，即0log321,1log23log25，所以log32log23log25.故选A.(2)依题意，得xloga，yloga，zloga.又0a1，因此有logalogaloga，即yxz.故选C.题型四分类讨论思想本章常见分类讨论思想的应用如下表：问题讨论标准分类情况比较af(x)与ag(x)的大小a与1的大小关系(1)a1时，若f(x)g(x)，则af(x)ag(x)；(2)0a1时，若f(x)g(x)，则af(x)ag(x)解不等式af(x)ag(x)a与1的大小关系(1)a1时，f(x)g(x)；(2)0a1时，f(x)g(x)比较logax1与logax2的大小a与1的大小关系(1)a1时，若x1x2，则logax1logax2；(2)0a1时，若x1x2，则logax1logax2解不等式logaf(x)logag(x)a与1的大小关系(1)a1时，f(x)g(x)0；(2)0a1时，0f(x)g(x)例4已知偶函数f(x)在x0，)上是增函数，f0，求不等式f(logax)0(a0，且a1)的解集解f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，又f0，f(x)在(，0)上是减函数，f0.故若f(logax)0，则有logax或logax.当a1时，由logax或logax，得x或0x.当0a1时，由logax或logax，得0x或x.综上可知，当a1时，f(logax)0的解集为(，)；当0a1时，f(logax)0的解集为(0，).跟踪演练4已知函数ya在x1,3时有最小值，求a的值解令tx23x32，当x1,3时，t.若a1时，则ymina，解得a，与a1矛盾若0a1，则ymina3，解得a，满足题意综合知，a.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题2从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查资