22 3 三角形的中位线 A BC D E 为了测量一个池塘的宽BC 在池塘一侧的 平地上选一点A 再分别找出线段AB AC的中 点D E 若测出DE的长 就能求出池塘BC的长 你知道为什么吗 A D C B E 1 在 ABC中 AD BD 线段CD是 ABC的 2 在 ABC中 AE EC 线段BE是 ABC的 回顾 中线 中线 F 如果连结DE 那么DE是否是 ABC的中线 什么叫三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 如图 点 D E分别是AB AC边的中 点 线段DE就是 ABC的中位线 思考 一个三角形共有几条中位线 F 答 三条 中位线是连结两边中点的线段 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 1 三角形的中位线和中线有什么不同呢 定 义 2 三角形的中位线定义的两层含义 1 D E分别为AB AC的中点 DE为 ABC的中位线 2 DE为 ABC的中位线 D E分别为AB AC的中点 C B A E D F 三角形的中位线有什么性质 如图 EF是 ABC 的一条中位线 1 量一量EF BC的长是多少 你能作 出什么猜测 A B C E F 2 观察图形中的EF与BC 猜测EF 与BC 位置关系吗 动手实践 为什么四边形DBCF是平行四边形 一起探究 答 由操作可知 ADE与 CFE关于点E成中心对称 则CF AD F ADE 由 F ADE可得 AB CF 又由CF AD AD DB可得 DB CF 所以四边形BCFD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 F A BC D E 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于 它的一半 已知 在 ABC中 AE EB AF FC 求证 EF BC EF BC 证明 延长线段EF到M 使FM EF 连结MC AF FC AFE CFM EF FM AFE CFM SAS AE CM A FCM AE CM 即BE CM 又 BE AE CM 四边形EBCM是平行四边形 EF BC且EM BC EF EM BC 如图 如果 DE 是 ABC 的中位线 那么 DE BC DE BC 1 证明平行 2 证明一条线段是另一条线 段的2倍或 A B C D E 三角形的中位线定理 三角形的中位线 平行于第三边 并且等于第三边的一半 2 定理的主要用途 1 几何语言表示 第三边 1 如图 MN 为 ABC 的中位 线 若 ABC 61 则 AMN 若MN 12 则BC A M B C N 61 24 2 2012长沙中考 如图 ABC 中 D E 分别为AB AC 的中点 当BC 10 时 则 DE A D B CE 5 3 如图 已知 ABC中 AB 3 BC 3 4 AC 4 且D E F分别为 AB BC AC边的 中点 则 DEF的周长 是 A BC D E F 5 2 3 3 如如图图图图 在在 ABCABC中中 D E F D E F分分别别别别是是 AB BC ACAB BC AC的中点的中点 AC 12 BC 16 AC 12 BC 16 则则则则四四边边边边 形形DECFDECF的周的周长为长为长为长为 A BC D F E 28 A BC D E 为了测量一个池塘的宽BC 在池塘一侧的 平地上选一点A 再分别找出线段AB AC的中 点D E 若测出DE的长 就能求出池塘BC的长 你知道为什么吗 如图 在四边形如图 在四边形ABCDABCD中 中 AD BCAD BC P P是对角线是对角线 BDBD的中点 的中点 MM是边是边DCDC的中点 的中点 NN是边是边ABAB的中点 的中点 MPNMPN是什么三角形 为什么 是什么三角形 为什么 N A B C DM P 若 CBD 20 ADB 70 M PN 如图 顺次连结四边形ABCD 各 边中点E F H M 得到的四边形 EFHM 是平行四边形吗 为什么 A C D E F H M B 连结AC 所以 EF MH 且 EF MH 所以 四边形 EFHM是平行四边 形 解 AB C D E F H M 因为EF是 ABC的一 条中位线 所以EF AC 且EF AC 因为 MH 是 DAC 的一条中位线 所以 MH AC 且 MH AC 本节课你学到什么