二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式 一元函数 的泰勒公式 推广 多元函数泰勒公式 记号 设下面涉及的偏导数连续 一般地 表示 表示 定理1 的某一邻域内有直 到n 1阶连续偏导数 为此邻域内任 一点 则有 其中 称为f在点 x0 y0 的n阶泰勒公式 称为其拉格 朗日型余项 证 令 则 利用多元复合函数求导法则可得 一般地 由 的麦克劳林公式 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 1 当n 0时 得二元函数的拉格朗日中值公式 2 若函数 在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零 由中值公式可知在该区域上 说明 例1 求函数 解 的带Peano型 余项的四阶泰勒公式 例2 求函数 解 的三阶泰 勒公式 因此 其中 时 具有极值 极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 定理2 充分条件 证 由二元函数的泰勒公式 并注意 则有 所以 其中 是当h 0 k 0时的无穷小量 于是 1 当AC B2 0时 必有A 0 且A与C同号 可见 从而 z 0 因此 从而 z 0 2 当AC B2 0时 若A C不全为零 无妨设A 0 则 时 有 异号 同号 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 若A C 0 则必有B 0 不妨设B 0 此时 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 3 当AC B2 0时 若A 0 则 若A 0 则B 0 为零或非零 此时 因此 不能断定 x0 y0 是否为极值点 问题的提出 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系y f x 需要解决两个问题 1 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2 确定近似函数的标准 实验数据有误差 不能要求 最小二乘法 偏差 有正有负 值都较小且便于计算 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数f x 最小二乘法原理 设有一列实验数据 分布在某条曲线上 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法 找出的函数关系称为经验公式 它们大体 特别 当数据点分布近似一条直线时 问题为确定a b 令 满足 使 得 解此线性方程组即得a b 观测数据 用最小二乘法确定a b 通过计算确定某些经验公式类型的方法 例1 为了测定刀具的磨损速度 每隔1小时测一次刀 具的厚度 得实验数据如下 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式 解 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上 列表计算 故可设经验公式为 得方程组 解得 故所求经验公式为 为衡量上述经验公式的优劣 计算各点偏差如下 称为均方误差 对本题均方误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏 偏差平方和为 例2 在研究某单分子化学反应速度时 得到下列数据 其中 表示从实验开始算起的时间 y表示时刻 反应 物的量 试根据上述数据定出经验公式 解 由化学反应速度的理论知 经验公式应取 其中k m为待定常数 对其取对数得 线性函数 因此a b应满足方程组 经计算得 解得 所求经验公式为 其均方误差为