1 第 7 讲正弦定理 余弦定理及其实际应用 基础巩固 1 如图所示 已知两座灯塔A和 B与海洋观察站C的距离相等 灯塔 A在观察站 C的北偏东40 方向 上 灯塔 B在观察站C的南偏东60 方向上 则灯塔 A在灯塔 B的 A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 答案 B 解析 由已知 ACB 180 40 60 80 又 AC BC A ABC 50 60 50 10 故灯塔 A位于灯塔B的北偏西10 2 已知圆的半径为4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若 abc 16 则内接三角形的面积为 A 2 B 8 C D 答案 C 解析 2R 8 sin C S ABC absin C abc 16 3 已知 A B 两地的距离为10 km B C两地的距离为20 km 现测得 ABC 120 则A C 两地的距离 为 A 10 km B km C 10km D 10km 答案 D 解析 利用余弦定理AC 2 AB2 BC2 2AB BC cos 120 102 202 2 10 20 700 故 AC 10 km 4 下列判断中正确的是 A ABC中 a 7 b 14 A 30 有两解 B ABC中 a 30 b 25 A 150 有一解 C ABC中 a 6 b 9 A 45 有两解 D ABC中 b 9 c 10 B 60 无解 答案 B 解析 A a bsin A 有一解 B A 90 a b 有一解 C ab csin B 有两解 5 在 ABC中 内角 A B C 的对边分别为a b c 且 2c 2 2a2 2b2 ab 则 ABC是 2 A 钝角三角形B 直角三角形 C 锐角三角形D 等边三角形 答案 A 解析 2c 2 2a2 2b2 ab a 2 b2 c2 ab cos C 0 则其余两边长为a 2a 故最大角的余弦值是cos 10 2012 安徽卷 16 设 ABC的内角 A B C 所对边的长分别为a b c 且有 2sin Bcos A sin Acos C cos Asin C 1 求角 A的大小 2 若 b 2 c 1 D 为 BC的中点 求 AD的长 解 1 方法一 由题设知 2sin Bcos A sin A C sin B 因为 sin B 0 所以 cos A 由于 0 A 故 A 方法二 由题设可知 2b a c 于是 b 2 c2 a 2 bc 所以 cos A 由于 0 A 故 A 2 方法一 因为 2 所以 从而 AD 方法二 因为 a 2 b2 c2 2bccos A 4 1 2 2 1 3 所以 a 2 c2 b 2 B 3 因为 BD AB 1 所以 AD 11 2013 届 广东茂名月考 在 ABC中 内角 A B C 所对的边长分别是a b c 1 若 c 2 C 且 ABC的面积为 求 a b 的值 2 若 sin C sin B A sin 2A 试判断 ABC的形状 解 1 c 2 C 由余弦定理c 2 a2 b2 2abcos C 得 a2 b2 ab 4 又 ABC的面积为 absin C ab 4 联立方程组解得a 2 b 2 2 由 sin C sin B A sin 2A 得 sin A B sin B A 2sin Acos A 即 2sin Bcos A 2sin Acos A cos A sin A sin B 0 从而 cos A 0 或 sin A sin B 0 当 cos A 0 时 0 A A ABC为直角三角形 当 sin A sin B 0时 得 sin B sin A 由正弦定理得a b 即 ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形 12 2012 甘肃兰州模拟 某单位在抗雪救灾中 需要在 A B 两地之间架设高压电线 测量人员在相 距 6 km 的 C D 两地测得 ACD 45 ADC 75 BDC 15 BCD 30 如图 其中 A B C D 在 同一平面上 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际所需电线长度大约应该是A B 之 间距离的1 2 倍 问施工单位至少应该准备多长的电线 解 在 ACD中 ACD 45 CD 6 ADC 75 所以 CAD 60 因为 所以 AD 2 在 BCD中 BCD 30 CD 6 BDC 15 所以 CBD 135 因为 所以 BD 3 又因为在 ABD中 BDA BDC ADC 90 所以 ABD是直角三角形 所以 AB 所以电线长度至少为l 1 2 AB km 答 施工单位至少应该准备长度为km的电线 拓展延伸 13 201 2 浙江卷 18 在 ABC中 内角 A B C 的对边分别为a b c 已知 cos A sin B cos C 4 1 求 tan C 的值 2 若 a 求 ABC的面积 解 1 因为 0 A cos A 得 sin A 又 cos C sin B sin A C sin Acos C cos Asin C cos C sin C 所以 tan C 2 由 tan C 得 sin C cos C 于是 sin B cos C 由 a 及正弦定理 得 c 设 ABC的面积为S 则 S acsin B