1 高考 A计划 2014 高考数学第一轮复习第 32 课时 三角函数的最值学 案 新人教 A版 一 课题 三角函数的最值 二 教学目标 掌握三角函数最值的常见求法 能运用三角函数最值解决一些实际问题 三 教学重点 求三角函数的最值 四 教学过程 一 主要知识 求三角函数的最值 主要利用正 余弦函数的有界性 一般通过三角变换化为下列 基本类型处理 sinyaxb 设sintx化为一次函数yatb在闭区间 1 1 t上的最值求之 sincosyaxbxc 引 入 辅 助 角 2222 cos sin ab abab 化 为 22 sin yabxc求解方法同类型 2 sinsinyaxbxc 设sintx 化为二次函数 2 yatbtc在 1 1 t上的最值求之 sincos sincos yaxxbxxc 设 sincostxx化为二次函数 2 1 2 a t ybtc在 闭区间 2 2 t上的最值求之 tancotyaxbx 设 tantx化为 2 atb y t 用法求值 当0ab时 还可用平均值定 理求最值 sin sin axb y cxd 根据正弦函数的有界性 即可分析法求最值 还可 不等式 法或 数形结合 二 主要方法 配方法 化为一个角的三角函数 数形结合法 换元法 基本不等式法 三 例题分析 例 1 求函数sincos 6 yxx的最大值和最小值 解 33 sincos cossinsinsincos3 sin 66226 yxxxxxx 当2 3 xk max 3y 当 2 2 3 xk min3y kZ 例 2 求函数 sin2 cos2 yxx的最大 最小值 解 原 函 数 可 化 为 sincos2 sincos 4yxxxx 令sincos 2 xxtt 则 2 1 sincos 2 t xx 2 2113 24 2 222 t ytt 2 2 2 t 且函数在 2 2 上为减函数 当2t时 即2 4 xkkZ时 min 9 2 2 2 y 当2t时 即 3 2 4 xkkZ时 max 9 2 2 2 y 2 例 3 求下列各式的最值 1 已知 0 x 求函数 2 3sin 13sin y 的最大值 2 已知 0 x 求函数 2 sin sin yx x 的最小值 解 1 331 1 22 3 3sin sin y 当且仅当 3 sin 3 时等号成立 故 max 1 2 y 2 设sin 01 xtt 则原函数可化为 2 yt t 在 0 1 上为减函数 当1t时 min 3y 说明 sin sin a yx x 型三角函数求最值 当sin0 x 1a时 不能用均值不等式求最值 适 宜用函数在区间内的单调性求解 例 4 求函数 2cos 0 sin x yx x 的最小值 解 原式可化为sincos2yxx 0 x 引入辅助角 1 tan y 得 2 1sin 2yx 2 2 sin 1 x y 由 2 2 1 1y 得3y或3y 又 1cos1x 2 cos0 x 且sin 0 x 故0y 3y 故 max 3y 例 5 高考A计划 考点32 智能训练10 已知 3 sinsin 2 则coscosy的最 大值是 解 2223 sinsin coscos 2cos 4 y 25 2cos 4 y 故当cos 1时 max 13 2 y 四 巩固练习 1 已知函数sin yAx在同一周期内 当 9 x时 取得最大值 1 2 当 4 9 x时 取得 最小值 1 2 则该函数的解析式是 B A 1 2sin 36 yx B 1 sin 3 26 yx C 1 sin 3 26 yx D 1 sin 3 26 yx 2 若方程cos22 3 sincos1xxxk有解 则k 3 1 五 课后作业 高考A计划 考点32 智能训练6 8 9 12 13 14