1 第七节正弦定理 余弦定理的应用举例 2 3 考纲 传真 内容 要 求 A B C 正弦定理 余弦 定理及其应用 4 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 2 实际应用中的常用术语 术语 名称 术语意义图形表示 5 仰角 与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中 目标视线在水平视线 上方的叫做仰角 目标视线在水平视线下方的叫做俯角 6 方位 角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角叫做方位角 方位角的范围是0 360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 通常表达为 北 南 偏东 西 度 例 1 北偏东m 7 2 南偏西n 8 坡角坡面与水平面的夹角 设坡角为 坡度为i 则i h l tan 坡度 或 坡 比 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 9 10 1 夯基释疑 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 2 若点A在点B的北偏东30 方向 则点B在点A的东偏北60 方向 3 坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数 4 如图 3 7 1 所示 B C D三点在地面同一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分别为 和 则可以求出A点距地面的高度 AB 11 图 3 7 1 解析 根据相关角的概念知 1 正确 2 3 错误 对于 4 在 ACD中 由正弦定理可求AC AC asin sin 在 Rt ABC中 AB AC sin 因为a 已知 故AB可求 所以 4 正确 答案 1 2 3 4 2 教材习题改编 某海域有A B C三个小岛 测得A岛在B岛的北偏东15 方向上且距B岛 10 海里 C岛在B岛正东方向 在A岛南偏东45 方向上 则B C两岛间的距离为 海里 12 解析 根据题意画出示意图 在 ABC中 AB 10 BAC 15 45 60 BCA 45 由正弦定理 得 BC sin BAC AB sin BCA 所以BC AB sin BAC sin BCA 10sin 60 sin 45 10 3 2 2 2 56 答案 56 3 为了测量河的宽度 在岸的一边选取两点A和B 观测对岸标记C 测得 CAB 45 CBA 75 AB 120 m 则河宽为 m 保留根式 解析 如图所示 CD为河的宽度 13 CD tan 45 CD tan 75 120 CD 120 1 tan 45 1 tan 75 20 3 3 m 答案 20 3 3 4 在O点测量一在做匀速直线运动的物体 开始时刻物体位于P点 一分钟后 其位置在Q点 且 POQ 90 再过一分钟 该物体位于R点 且 QOR 30 则 tan OPQ的值为 解析 如图所示 由于物体做匀速直线运动 根据题意 PQ QR 不妨设其长度为1 在 Rt POQ中 OQ sin OPQ OP cos OPQ 14 在 OPR中 由正弦定理得 2 sin 120 OP sin ORP 在 ORQ中 1 sin 30 OQ sin ORQ 综上得 OQ OP tan OPQ 3 2 答案 3 2 5 如图 3 7 2 测量河对岸的塔高AB时 选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 30 BDC 120 CD 10 m 并在点C 测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB m 15 图 3 7 2 解析 在 BCD中 CD 10 BCD 30 BDC 120 CBD 180 30 120 30 由正弦定理 得 BC sin 120 10 sin 30 BC 10sin 120 sin 30 10 3 2 1 2 103 在 Rt ABC中 AB BC tan 60 103 3 30 答案 30 16 考向 1 测量高度问题 典例 1 第二届夏季青年奥林匹克运动会于2014 年 8 月 16 日在南京开幕 开幕式上举行升旗仪式 在坡角为15 的看台上 同一列上的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和 30 第一排和最后一排的距离为106 m 如图 3 7 3 所示 求旗杆的高度 17 图 3 7 3 解 设最后一排和第一排的观测点分别为A B 旗杆顶端和底端分别为C D 则依题意画出示意图 如图 在 ABC中 ABC 105 所以 ACB 30 18 由正弦定理得 106 sin 30 BC sin 45 所以BC 206 2 2 203 在 Rt CBD中 CD BCsin 60 203 3 2 30 m 规律方法 1 在测量高度时 要准确理解仰角 俯角的概念 仰角和俯角都是在同一铅垂面内 视线与水平线的夹角 2 分清已知条件与所求 画出示意图 明确在哪个三角形内运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 并注意综合运用方程 平面几何 立体几 何等知识 19 变式训练1 如图 3 7 4 所示 为测得河对岸塔AB的高 先在河岸上选一点C 使C在塔底B的正东方向上 在C点测得点A的仰角为60 再由点C沿北偏东15 方向走10 米到位置D 测得 BDC 45 求塔AB的高度 图 3 7 4 解 在 BCD中 CD 10 BDC 45 BCD 15 90 105 DBC 30 BC sin 45 CD sin 30 BC CD sin 45 sin 30 102 在 Rt ABC中 tan 60 AB BC AB BCtan 60 106 米 考向 2 测量角度问题 20 典例 2 在海岸A处 发现北偏东45 方向 距离A处 3 1 海里的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 方向 距离A处 2 海里的C处的 缉私船奉命以103海里 小时的速度追截走私船 同时 走私船正以10 海里 小时的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追 上走私船 最少要花多少时间 解 设缉私船t小时后在D处追上走私船 则有CD 103t BD 10t 在 ABC中 AB 3 1 AC 2 BAC 120 利用余弦定理可得BC 6 由正弦定理 得sin ABC AC BC sin BAC 2 6 3 2 2 2 ABC 45 因此BC与正北方向垂直 21 于是 CBD 120 在 BCD中 由正弦定理 得 sin BCD BDsin CBD CD 10t sin 120 103t 1 2 得 BCD 30 又 CD sin 120 BC sin 30 即 103t 3 6 得t 6 10 所以当缉私船沿北偏东60 的方向能最快追上走私船 最少要花 6 10 小时 规律方法 1 本题求解的关键是理解方位角 方向角的概念 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最重要的一步 2 1 对于和航行有关的问题 要抓住时间和路程两个关键量 解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解 2 根据示意图 把所求量放在有关三角形中 有时直接解此三角形解不出来 需要先在其他三角形中求解相关量 变式训练2 2014 镇江模拟 已知岛A南偏西 38 方向 距岛A 3 海里的B处有一艘缉私艇 岛A处的一艘走私船正以10 海里 时的速度向岛北偏西22 方向 行驶 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶 恰好用0 5 小时能截住该走私船 22 图 3 7 5 参考数据 sin 38 53 14 sin 22 33 14 解 如图 设缉私艇在C处截住走私船 D为岛A正南方向上一点 缉私艇的速度为每小时x海里 则BC 0 5x AC 5 海里 23 依题意 BAC 180 38 22 120 又AB 3 由余弦定理可得BC 2 AB 2 AC 2 2AB AC cos 120 0 5x 2 32 52 2 3 5 1 2 49 x 14 BC 0 5x 7 又由正弦定理 得sin ABC AC sin BAC BC 5 3 2 7 53 14 sin 38 53 14 ABC 38 又 BAD 38 BC AD 24 故缉私艇以每小时14 海里的速度向正北方向行驶 恰好用0 5 小时截住该走私船 考向 3 测量距离问题 高频考点 命题视角测量距离问题是正弦定理和余弦定理应用中的重点内容 也是历年考试考查的重点 归纳起来常见的命题角度有 1 两点都不可到达的 距离 2 两点不相通的距离 3 两点间可视但有一点不可到达的距离 典例3 2014 徐州调研 为了吸引游客 增加旅游业收入 徐州市旅游局准备在云龙湖 边增设两个景点B和C 为此要计算两景点B与C的距离 由于地形的限制 需要在岸上选取A和D 两个测量点 现测得AD CD AD 100 m AB 140 m BDA 60 BCD 135 求两景点B与C之间的距离 假设A B C D在同一平面内 测量法需保留整数 参考数据 2 1 414 3 1 732 5 2 236 25 图 3 7 6 思路点拨 先在 ABD中 利用余弦定理求BD 然后在 BCD中 利用正弦定理求BC 解 在 ABD中 设BD x m 则BA 2 BD2 AD 2 2BD AD cos BDA 即 140 2 x2 1002 2 100 x cos 60 整理得x 2 100 x 9 600 0 解之得x1 160 x2 60 舍去 故BD 160 m 在 BCD中 由正弦定理 得 BC sin CDB BD sin BCD 又AD CD CDB 30 BC 160 sin 135 sin 30 802 113 m 即两景点B与C之间的距离约为113 m 通关锦囊 研究测量距离问题 解决此类问题的方法是 选择合适的辅助测量点 构造三角形 将问题转化为求某个三角形的边长问题从而利用正 余弦定理 求解 变式训练3 要测量对岸A B两点之间的距离 选取相距3 km 的C D两点 并测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之间的距离 解 如图所示 在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 26 AC CD 3 km 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 BC 3sin 75 sin 60 6 2 2 在 ABC中 由余弦定理 得 AB 2 3 2 6 2 2 2 2 3 6 2 2 cos 75 3 2 3 3 5 AB 5 km A B之间的距离为5 km 考向 4 距离或角度的最值问题 典例 4 2014 南京模拟 如图 3 7 7 经过村庄A有两条夹角为60 的公路AB AC 根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P 分别在 两条公路边上建两个仓库M N 异于村庄A 要求PM PN MN 2 单位 km 如何设计 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 即工厂与村庄的距离 最远 27 图 3 7 7 解 法一 设 AMN 在 AMN中 MN sin 60 AM sin120 因为MN 2 所以AM 43 3 sin 120 在 APM中 cos AMP cos 60 AP 2 AM 2 MP2 2AM MP cos AMP 28 16 3 sin 2 120 4 2 2 43 3 sin 120 cos 60 16 3 sin 2 60 163 3 sin 60 cos 60 4 8 3 1 cos 2 120 83 3 sin 2 120 4 8 3 3sin 2 120 cos 2 120 20 3 20 3 16 3 sin 2 150 0 120 当且仅当 2 150 270 即 60 时 AP 2 取得最大值12 即AP取得最大值23 答 设计 AMN 60 即AN AM 2 km 时 工厂产生的噪声对居民的影响最小 法二 设AM x AN y AMN 在 AMN中 MN 2 MAN 60 MN 2 AM 2 AN 2 2AM AN cos MAN 即x 2 y 2 2xycos 60 x 2 y 2 xy 4 MN sin 60 AN sin 即 2 sin 60 y sin sin 3 4 y cos x 2 4 y 2 2 2 x