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www.ks5u.com厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学(理科)试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则( )A B C D 2.复数满足,则( )A B2 C D 3.等差数列中,则( )A B C5 D 4.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A B C D 5计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣,给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图,输入,则输出( )A3 B4 C5 D66.设满足约束条件则的最大值是( )A B1 C D27.双曲线的左焦点为,过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点,若为等边三角形,则的离心率是( )A B C2 D 8.如图,某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形,该棱锥的体积为,则该棱锥内切球的表面积是( )A B C D 9函数与的图象交点的横坐标之和为,则( )A B0 C1 D210.圆台的高为2,上底面直,,下底面直径,与不平行,则三棱锥体积的最大值是( )A B C D 11.定义在上的函数满足,若关于的方程有3个实根,则的取值范围是( )A B C D 12.函数与(其中)在的图象恰有三个不同的交点,为直角三角形,则的取值范围是( )A B C D 第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 的展开式中常数项是 14.已知三点,若为锐角,则的取值范围是 15等比数列的首项为2,数列满足,则 16过抛物线焦点的直线与交于两点,在点处的切线分别与轴交于两点,则的最大值是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 的内角的对边分别是,满足.(1)若,求的面积;(2)求.18.如图,四棱锥中,是等边三角形, ,分别为的中点.(1)证明:平面;(2) 若平面,求直线与平面所成角的正弦值.19.2018年2月4日,中央一号文件中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见 发布,对农村电商发展提出新的指导性意见,使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售,为了解该地区果园的樱桃销售量情况,现从中随机抽取60个樱桃果园,统计各果园2017年的销售量(单位:万斤 ).得到下面的频率分布直方图.(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个,求销售量不低于10万斤的果园个数的分布列及其数学期望;(2)该电商经过6天的试运营,得到销售量 (单位:万斤)情况统计表如下:根据相关性分析,前天累计总销售量与之间具有较强的线性相关关系,由最小二乘法得回归直线方程.用样本估计总体的思想,预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.注:1.前天累计总销售量;2.在频率分布直方图中,同一组教据用该区间的中点值作代表.20.在平面直角坐标系中,点,点在直线上,过中点作,交于点,设的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程;(2)过点的直线与交于两点,直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上,若搓,求出该直线方程;若不是,说明理由.21.函数(其中).(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,恒成立,求正整数的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在立角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)若曲线上一点的极坐标为,且过点,求的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点,与的交点为,求的最大值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设关于的不等式的解集为,且,求的取值范围参考答案一、选择题1-5: BBDDB 6-10: DCCBB 11、12:AA二、填空题13. 15 14. 15. 16. 8三、解答题17. (1)由余弦定埋,得,又,得,因为,所以,由三角形面积公式,(2)法一:由,得结合余弦定理,得因为,则结合正弦定理,得 因为,得整理得: 因为,所以,即法二: 整理得:由,得整理得:.18.(1)取的中点,连接,为的中点,又平面,同理平面,又,平面平面,平面,平面.(2)(法)平面,以为坐标原点,以分别为轴的正方向,过垂直于平面的直线为轴,如图建立空间直角坐标系, 在中,设平面的法向量为, ,取,即,设直线与平面所成角为,。直线与平面所成角的正弦值为.(法二)连接,为的中点,为的中点, 平面,平面,两两互相垂直,以为坐标原点,以分别为轴的正方向,如图建立空间直角坐标系,,可得,,设平面的法向量为, ,取,即,设直线与平面所成角为,。直线与平面所成角的正弦值为.19.(1)由频率分布直方图可得样本中2017年销将量不低于9万斤的果园有个,销售量不低于10万斤的果园有个.随机变量的可能取值为0,1,2,3.,所以随机变量的分布列为数学期望.(2)由运营期间销售量情况统计表可得前天累计总销售量如下:, 将样本中心点代入回归直线方程,得,下面用直方图中各区间中点值作为代表,估计该地区2017年平均销售量: 由题意得:,解得.,该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.20. (1)法一:设,因为为中点,故点的坐标为;当时,点的坐标为;当时,由三点共线知,即 ,即 ;得,化简得曲线的轨迹方程为.法二:设,则直线的方程为,令,得点的坐标为,即,又及,.即,化简得,即,故曲线的轨迹方程为. (2)法一:由题意知,直线的斜率恒大于0,且直线不过点,其中;设直线的方程为,则.设,直线的方程为,故,同理;所以,即 联立,化简得,所以 代入得,所以点都在定直线上.法二:设,设直线的方程分别为,则,故 ,联立得,所以,同理,.由三点共线知,即, 又,故式可化为,代入式,得.所以点都在定直线上.法三:设,设直线的方程分别为,则,故设直线方程的统一形式为,直线的方程为,联立,得点的统形式为,又均在椭圆上,故其坐标满足椭圆的方程,即,得,即,为该二次方程的两根,由韦达定理得,代入式,得.所以点都在定直线上.21.(1)函数定义域是,(i)当时,当时,函数的单调递减区间是;()当,的两根分别是,当时.函数的单调递减.当时,函数的单调速递增,当时,函数的单调递减;综上所述,(i)当时的单调递减区间是,()当时,的单调递增区间是,单调递减区间是和 (2)当时,即,设,当时,设,则,在递增,又在区间上的图象是一条不间断的曲线,且,使得,即,当时,;当时,;函数在单调递减,在单调递增,在递减,当时,不等式对任意恒成立,正整数的最大值是3. 22.(1)把代入曲线可得 化为直角坐标为,又过点,得直线的普通方程为;可化为.由可得,即曲线的直角坐标方程为.(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得,化简得, 可得,故与同号,所以时,有最大值.此时方程的,故有最大值.23.(1)当时,.即或或 解得 或 或,所以或或.所以原不等式的解集为.(2)因为,所以当时,不等式恒成立,即在上恒成立,当时,即,所以,所以在上恒成立,所以,即;当时,即,即,所以在上恒成立,所以,即;综上,的取值范围为.
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