拉梅公式的推导和应用 平面弹性变形问题 1 引言 拉梅公式在工程力学中具有重要地位 尤其是在解决弹性力学的平面问题时 不失为一种理想的数学模型 前一部分给出拉梅公式的数学推导 用到了极坐标下的四类基本方程 即平衡方程 几何方程 本构方程 和变形协调方程 根据平面轴对称问题简化四类基本方程 再联合平面轴对称问题下的应力函数 得到平面应力问题的解 最后 根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式 后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例 并给出具体的数值计算 2 拉梅公式的推导 弹性理论是一类偏微分方程的边界问题 1 所以边界的选择决定着工程问题求解的难以 一般要求坐标轴与受力物体的边界相重合 因此对于圆形 环形 楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题 2 1四类基本方程 平衡方程 平面上的平衡方程的柱坐标不含z变量 几何方程 本构方程 协调方程 2 2极坐标应力公式 可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关 2 3平面轴对称问题 平面轴对称问题中 应力不仅与z无关 而且与 无关 因此 由公式 可得柱坐标下的正应力为 对于环向闭合的圆域或 环域 或者平板上的圆孔 方向上位移 的单值条件要求B值为零 即B 0 求解平面轴对称情况下的协调方程可得 3 拉梅公式的应用 例1均压圆环或圆筒对于厚壁圆筒 内表面r a处受压力pi 在外表面r b处受压力p0 边界条件为 把 式代入以上边界条件可解的 将A和C代回 中可得到拉梅公式 它适用于任意壁厚问题 例2带小孔的等向拉伸平板 此种情况可以简化为pi 0 p0 q 壁厚很大 b远大于a 的圆环 壁厚t远小于内径a 即t a远小于1 此时拉梅公式可简化为薄壁筒公式 4 小结 拉梅公式有很广的用途 尤其是解决受均匀载荷的平面问题 但是拉梅公式也有其局限性 拉梅公式不适用的情况 筒所承受的内 外压强若为轴向坐标z的二次函数或更高次函数时 不适于用拉梅公式求解 除上述情况外 经理论分析和计算 筒的结构尺寸或所承受的载荷有突变之处及其附近区域内具有外伸端的过盈配合结构的配合端面附近区域皆不适于用拉梅问题求解 谢谢