三 小结思考题 二 可化为有理函数的积分 一 有理函数的积分 第四节有理函数的积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之 一 有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 例 难点 将有理函数化为部分分式之和 1 分母中若有因式 则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 特殊地 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例2 例3 整理得 例4求积分 解 例5求积分 解 例6求积分 解 令 说明 将有理函数化为部分分式之和后 只出现三类情况 多项式 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数 二 可化为有理函数的积分 1 三角函数有理式的积分 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之 一般记为 万能置换公式 例7求积分 解 由万能置换公式 例8求积分 解 一 解 二 修改万能置换公式 令 解 三 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换 例9求积分 解 2 简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号 例10求积分 解令 例11求积分 解令 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 例12求积分 解 先对分母进行有理化 原式 简单无理式的积分 有理式分解成部分分式之和的积分 注意 必须化成真分式 三角有理式的积分 万能置换公式 注意 万能公式并不万能 三 小结 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式 练习题 练习题答案