则称为的子空间 简单地讲 子空间是对加法和数乘运算封闭的的非空子集 加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间 4 4子空间 例4 4 1若则是的子空间 对任意有 由定义 H是的子空间 定理4 4 1若 是的子空间 一般地 我们有 命题 等价向量组生成相同的子空间 例4 4 2过原点的直线是一维子空间 不过原点的直线不是子空间 例4 4 3在 欧式 空间中 设 XY平面 XZ平面 YZ平面 一般地 过原点的平面是子空间的一个直观描述 两个特殊的子空间 例 判别下列集合是否为向量空间 解 所以 是向量空间 2 不是向量空间 下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间 定义4 4 2设A是m n矩阵 A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合 易知 因此 ColA也称为A的值域空间Range A 定理4 4 2m n矩阵A的列空间ColA是的子空间 记则 例4 4 4 因此 方程组相容 b在ColA中 判断b是否在ColA中 解 b在ColA中当且仅当方程组有解 定义4 4 3设A是m n矩阵 A的零空间NulA是齐次线性方程组Ax 0的所有解向量构成的集合 即 定理4 4 3矩阵A的零空间NulA是的子空间 等价地 m个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax 0的解集是的子空间 称为Ax 0的解空间 证明 显然 0在NulA中 所以NulA是的子空间 任意实数k 任取NulA中两个向量 例4 4 5求NulA的一个生成集 解 首先 利用初等变换可化A为行最简形 取为自由变量 则解为 然后 将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合 解的参数形式 则是NulA的生成集