26 1二次函数的图象与性质 5 知识回顾 时 图象将发生怎样的变化 二次函数y ax y a x m 2 y a x m 2 k 1 顶点坐标 0 0 m 0 m k 2 对称轴 y轴或直线x 0 直线x m 直线x m 3 平移问题 一般地 函数y ax 的图象先向右 当m 0 或向左 当m 0 平移 m 个单位可得y a x m 2的图象 若再向上 当k 0 或向下 当k 0 平移 k 个单位可得到y a x m 2 k的图象 复习 1 抛物线y 3 x 2 2 4的开口 对称轴是 顶点坐标 当x 时 y随x的增大而减小 当x 时 y随x的增大而增大 当x为 时 有最大值是 2 抛物线y 2 x 2 2 3是由抛物线y 2 x 2 2向 平移 单位而得到的 也可由抛物线y 2x2先向 平移 单位 再而得向 平移 单位得到的 向下 直线x 2 2 4 2 2 2 4 下 3 右 2 下 3 对于二次函数y ax bx c a 0 的图象及图象的形状 开口方向 位置又是怎样的 通过变形能否将y ax bx c转化为y a x m 2 k的形式 y ax bx c a x2 x c a x2 x c a x 2 y ax bx c 二次函数 a 0 的图象是一条抛物线 对称轴是直线x 顶点坐标是为 y ax bx c 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线上的最低点 当a 0时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线上的最高点 请说明其增减性 例题学习 解 因此 抛物线的对称轴是直线x 3 顶点坐标是 3 2 例4求抛物线的对称轴和顶点坐标 1 函数的图象开口向 顶点坐标为 对称轴为 当时y随x的增大而增大 当时y随x的增大而减少 当x 时y有最值 下 1 2 5 直线x 1 x 1 x 1 1 大 2 5 2 说出下列抛物线的开口方向 顶点坐标和对称轴 做一做 4 P16练习1 3 说出上面函数的图象可由怎样的抛物线y ax a 0 经过怎样的平移后得到 我们的结论 图象的开口方向 对称轴 直线x 顶点坐标 增减性 在对称轴的 侧 y随x 在对称轴的 侧 y随x 最值 当x 时 y最小值 请研究二次函数y x2 6x 5的图象和性质 并尽可能多地说出结论 向上 3 3 4 左 的增大而减小 右 的增大而增大 3 4 可由抛物线y x2向 平移 个单位 再向 平移 个单位得到 抛物线与x轴的两个交点与顶点构成的三角形是 三角形 y x2 6x 5 右 3 下 4 等腰 图象与x轴的交点 与y轴交点 16 0 抛物线与x轴有 个交点 且交点的横坐标是对应二次方程 的两根 当 x 时y 0 当x 或x 时y 0 y x2 6x 5 1 0 5 0 0 5 两 x2 6x 5 0 1 5 5 1 二 探究系数与图象间的关系 a与图象的关系 a决定图象的形状 开口方向 开口大小 当a 0时开口向上 当a 0时开口向下 b与图象的关系 b影响对称轴的位置 当b 0时对称轴为y轴 当ab 0时对称轴在y轴左侧 当ab 0时对称轴在y轴右侧 c与图象的关系 C确定图象与y轴的交点 当c 0时图象过原点 当c 0时图象与y轴正半轴相交 当c 0时图象与y轴负半轴相交 与图象的关系 决定图象与x轴的交点情况 当 0时图象与x轴有两个交点 当 0时图象与x轴只有一个交点 当 0时图象与x轴无交点 对于二次函数y ax2 bx c中字母的几何意义 a 确定抛物线的开口方向 形状 c 确定y轴的交点 0 c 确定对称轴的位置 b2 4ac 确定与x轴的交点情况 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有两个交点 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有一个交点 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴没有交点 1 若抛物线y x2 m 2 x m 5 的顶点在y轴上 则m的值是 A 2B 2C 5D 5 B 我相信 我能行 3 若二次函数y ax2 3x 1与x轴有两个交点 则a的取值范围是 4 4 4 若无论x取何实数 二次函数y ax2 bx c的值总为负 那么a c应满足的条件是 A a 0且b2 4ac 0B a 0且b2 4ac 0C a 0且b2 4ac 0D a 0且b2 4ac 0 C 我相信 我能行 5 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 请根据图象判断下列各式的符号 a0 b0 c0 0 a b c0 a b c0 1 已知y ax2 bx c的图象如图所示 请在下列横线上填写 或 1 a 0 b 0 c 0 abc 0b2 4ac 0 2 a b c 0 a b c 04a 2b c 0 自我挑战1 2 已知二次函数y ax2 bx c中a 0 b 0 c 0 请画一个能反映这样特征的二次函数草图 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x h 2 k 1 已知一个二次函数的图象过点 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 2 已知抛物线的顶点为 1 3 与y轴交点为 0 5 求抛物线的解析式 3 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在 A 直线y x上B 直线y x上C x轴上D y轴上4 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是 A 4B 1C 3D 4或 1 B A 5 若把抛物线y x2 bx c向左平移2个单位 再向上平移3个单位 得抛物线y x2 2x 1 则 A b 2B b 6 c 6C b 8D b 8 c 186 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx 3的大致图象是 B 3 3 3 3 C 7 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c与一次函数y ax c的大致图象可能是 C 8 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B abc 0C a b c 0D a b c 0 B 驶向胜利的彼岸 9 请写出如图所示的抛物线的解析式 课内练习 0 1 2 4 x y O 1 用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框 应做成长 宽各为多少时 才能使做成的窗框的透光面积最大 最大透光面积是多少 2 已知二次函数的顶点是 2 1 且与y轴的交点到原点的距离是2 则这个二次函数的解析式是 或 如图 某隧道口的横截面是抛物线形 已知路宽AB为6米 最高点离地面的距离OC为5米 以最高点O为坐标原点 抛物线的对称轴为y轴 1米为数轴的单位长度 建立平面直角坐标系 求 1 以这一部分抛物线为图象的函数解析式 并写出x的取值范围 2 有一辆宽2 8米 高1米的农用货车 货物最高处与地面AB的距离 能否通过此隧道 一座拱桥的示意图如图 当水面宽12m时 桥洞顶部离水面4m 已知桥洞的拱形是抛物线 要求该抛物线的函数解析式 你认为首先要做的工作是什么 如果以水平方向为x轴 取以下三个不同的点为坐标原点 1 点A2 点B3 抛物线的顶点C所得的函数解析式相同吗 请试一试 哪一种取法求得的函数解析式最简单 探究活动 A B C 4m 12m 3 抛物线与直线的位置关系 y ax2 bx cy kx m 例5 已知二次函数y x 4x 3 请回答下列问题 画函数图象 1 函数的图象能否由函数的图象通过平移变换得到 若能 请说出平移的过程 并画出示意图 2 说出函数图象的开口方向 顶点坐标 对称轴 函数的增减性和函数最大或最小值 这节课你有什么收获和体会