偏微分方程的求解 一阶偏微分方程二阶偏微分方程 反应扩散型方程 的求解 一阶偏微分方程简介 线性一阶偏微分方程 齐次线性一阶偏微分方程 非线性一阶偏微分方程 一阶偏微分方程 特征线法 即 沿此曲线 u的值不变 特征线 特征方程组 例1求下列初值问题的解 特征线 解 特征方程组 消去s A得 一阶偏微分方程 一般地 对于 特征方程组 特征线 特征方程组的解曲线在x0y平面的投影 特征方程组的解消去参数则得方程的解曲面方程 例2求初值问题的解 解 特征方程组 消去参数 得 这是原问题的隐函数解 pde1 mws 特征方程组 一阶偏微分方程的数值解 可以应用常微分方程的数值解法求解 烟雾浓度的变化规律 初始条件 炮弹爆炸后烟雾的扩散与消失 格林 Green 函数 一般初值时 对于一维扩散方程的初值问题 利用Laplace变换或Fourier变换 可以得到 参见 偏微分方程 数学物理方程有关书籍 heat m MATLAB求偏微分方程的数值解 初值条件 MATLAB求偏微分方程的数值解 初值条件 边值条件处 MATLAB命令 Sol pdepe m pdefun pdeic pdebc x t Initialvaluecondition Boundaryvalueconditionatx a b 扩散方程 扩散方程 function c f s mp x t u du c 1 1 s 0 0 f du 1 du 2 functionu0 mpic x u0 exp x 2 sqrt pi 0 function pa qa pb qb mpbc xa ua xb ub t pa ua 1 ua 2 qa 0 0 pb ub 1 ub 2 qb 0 0 mp m mpic m mpbc m x 10 0 05 10 t 0 0 05 4 m 0 solu pdepe m mp mpic mpbc x t surf x t solu 1 waterfall x t solu 1 diffusion m diffusion m mp mmpic mmpbc m 偏微分方程的数值求解参考书 1 彭芳鳞 数学物理方程的MATLAB解法与可视化 清华大学出版社 2004 112 薛定宇 陈阳泉 高等应用数学问题的MATLAB求解 清华大学出版社 2004 8 更广泛的讨论 一般地 如果在点 x y z 处单位时间向空气中排放烟雾的量为f x y z 如何修改模型 练习 1 用MATLAB求解交通流模型 并作解曲面的图形 练习 2 求如下的反应 扩散方程的初值问题的数值解 3 求如下的反应 扩散方程系统的初值问题的数值解 思考 一个长河里 由于一条货船不慎在河中某处洒下了一包n千克的有毒物质 该物品易溶于水 为了及时治理污染 避免造成更大的损失 有关部门于a小时后在出事处投放了m千克解毒物品 以中和有毒物品的污染 已知单位长度河流的水下生态系统每天能降解该有毒物质1千克 试建立数学模型分析湖中有毒物质的浓度变化情况 以便于相关部门能及时判断各处河水在何时能够达到安全标准 可假定河水流速为0