www.ks5u.com11计数原理第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用填一填1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事2应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数.判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法9种()2一个科技小组中有4名女同学，5名男同学若从中选任一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法20种()3某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种()4在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()53个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有35种()6有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法()7由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为24.()想一想1.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？某同学解答如下：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成326种不同的信号；每次升3面旗可组成3216种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号36615种他解答的对么，问题出在哪里？提示：每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号；根据分类加法计数原理得，共可组成：392739种不同的信号审题时要细致，把题意弄清楚本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏2甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有34还是43种？提示：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况由分步乘法计数原理知，共有4444364种不同的冠军获得情况此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据思考感悟：练一练1.(a1a2)(b1b2)(c1c2c3)完全展开后的项数为()A9 B12C18 D24解析：由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为22312.答案：B2某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A6种 B7种C8种 D9种解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有236种；若选派2名女生，则有3种由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法答案：D3小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有_种解析：当第一块地种茄子时，有43224种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有43224种不同的种法，故共有48种不同的种植方案答案：484如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有_种解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有224种不同的走法因此由分类加法计数原理共有246种不同走法答案：6知识点一选取与分配问题1.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2612种方法故共有261220种选法2有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A11 B10C9 D8解析：法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法这样，由分类加法计数原理知共有3339种不同的安排方法法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有33119种不同安排方法答案：C知识点二组数问题3.从1,3,5,7,9这5个数中，每次取出2个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10C18 D20解析：lg alg blg，lg有多少个不同值，只要看不同值的个数即可分两步分别取出a，b；第1步，从5个数中取出1个数作为a，有5种取法；第2步，从剩下的4个数中取出1个数作为b，有4种取法根据分步乘法计数原理，共有5420(种)取法由于，故lg alg b的不同值的个数为20218.答案：C4用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125种(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100种(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318种排法因而有121830种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.知识点三涂色问题5.如图，用4种不同的颜色涂图中的矩形A，B，C，D，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()ABCDA.72种 B48种C24种 D12种解析：法一：先分两类一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有两种涂法，D有一种涂法，共有432124(种)涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有两种涂法故不同的涂法共有2424272(种)故选A.法二：分步先给A涂4种方法，再给B涂3种，再给C涂2种，最后涂D有3种方法，完成4步，完成涂色共有432372种，故选A项答案：A6如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为()A96 B84C60 D48解析：依次种A，B，C，D 4块，当C与A种同一种花时，有431336种种法；当C与A所种的花不同时，有432248种种法由分类加法计数原理知，不同的种法种数为364884.答案：B知识点四计数原理在几何中的应用7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对所以全部共有48对答案：C8已知集合M3，2，1,0,1,2，a，bM，P(a，b)表示平面上的点(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限内的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？解析：(1)确定一点坐标分两步，先确定横坐标有6种方法，再确定纵坐标有6种方法，所以共有6636种不同坐标(2)确定a有3种，确定b有两种，根据分步计数原理，第二象限内点的个数是326.(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个结合(1)可得不在直线yx上的点共有36630(个)基础达标一、选择题1由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位数的个数是()A60B48C24 D10解析：分3步第一步：首位数有4种不同的选法；第二步：十位数字有4种不同的选法；第三步：个位数字有3种不同的选法由分步乘法计数原理知可以组成无重复数字的三位数的个数是44348.故选B项答案：B2如图所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有()A9种 B10种C11种 D12种解析：分两类：第1类，R1断路时，若R4断路，R2，R3有4种可能，若R4不断路，则R2，R3至少有一个断路，有3种可能，故R1断路时有7种可能第2类，R1不断路时，R4必断路，此时，R2，R3共有4种可能，则共有4711种可能故选C项答案：C3(a1a2