课时跟踪检测 二十一 课时跟踪检测 二十一 点到直线的距离 两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行线间的距离 一 题组对点训练 对点练一 点到直线的距离 1 点 5 3 到直线x 2 0 的距离等于 A 7 B 5 C 3 D 2 解析 选 A 直线x 2 0 即x 2 为平行于y轴的直线 所以点 5 3 到 x 2 的距离d 5 2 7 2 已知A 2 4 B 1 5 两点到直线l ax y 1 0 的距离相等 则实数a的值 为 A 3 B 3 C 3 或 3 D 1 或 3 解析 选 C 由题意得 解得a 3 或 3 2a 4 1 a2 1 a 5 1 a2 1 3 倾斜角为 60 并且与原点的距离是 5 的直线方程为 解析 因为直线斜率为 tan 60 可设直线方程为y x b 化为一般式得 33 x y b 0 由直线与原点距离为 5 得 5 b 10 所以b 10 所以 3 0 0 b 3 2 1 2 所求直线方程为x y 10 0 或x y 10 0 33 答案 x y 10 0 或x y 10 0 33 4 若动点A x1 y1 B x2 y2 分别在直线l1 x y 7 0 和l2 x y 5 0 上移动 则AB的中点M到原点距离的最小值为 解析 由题意 知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上 设该直线方 程为x y c 0 则 即c 6 点M在直线x y 6 0 上 点M到 c 7 2 c 5 2 原点的距离的最小值就是原点到直线x y 6 0 的距离 即 3 6 22 答案 3 2 对点练二 两条平行线间的距离 5 已知直线l1 x y 1 0 l2 x y 1 0 则l1 l2之间的距离为 A 1 B 2 C D 2 3 解析 选 B 在l1上取一点 1 2 则点到直线l2的距离为 1 2 1 12 122 6 两平行线分别经过点A 5 0 B 0 12 它们之间的距离d满足的条件是 A 0 d 5 B 0 d 13 C 0 d 12 D 5 d 12 解析 选 B 当两平行线与AB垂直时 两平行线间的距离最大 AB 13 所以 0 d 13 7 已知直线l经过点P 2 5 且斜率为 3 4 1 求直线l的方程 2 若直线m与l平行 且点P到直线m的距离为 3 求直线m的方程 解 1 由直线方程的点斜式 得y 5 x 2 3 4 整理得所求直线方程为 3x 4y 14 0 2 由直线m与直线l平行 可设直线m的方程为 3x 4y C 0 由点到直线的距离公式得 3 3 2 4 5 C 32 42 即 3 解得C 1 或C 29 14 C 5 故所求直线方程为 3x 4y 1 0 或 3x 4y 29 0 对点练三 距离的综合应用 8 直线l过点A 3 4 且与点B 3 2 的距离最远 那么l的方程为 A 3x y 13 0 B 3x y 13 0 C 3x y 13 0 D 3x y 13 0 解析 选 C 由已知可知 l是过A且与AB垂直的直线 kAB kl 3 由点斜式得 y 4 3 x 3 即 3x y 13 0 2 4 3 3 1 3 9 已知直线l过点P 0 1 且分别与直线l1 2x y 8 0 和l2 x 3y 10 0 交于 B A两点 线段AB恰被点P平分 1 求直线l的方程 2 设点D 0 m 且AD l1 求 ABD的面积 解 1 点B在直线l1上 可设B a 8 2a 又P 0 1 是AB的中点 A a 2a 6 点A在直线l2上 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即B 4 0 故直线l的方程是x 4y 4 0 2 由 1 知A 4 2 又AD l1 kAD 2 m 6 2 m 4 0 点A到直线l1的距离d 2 4 2 8 22 12 14 5 5 AD 4 4 0 2 2 6 2 5 S ABD AD d 4 28 1 2 1 25 14 5 5 二 综合过关训练 1 两条平行线l1 3x 4y 2 0 l2 9x 12y 10 0 间的距离等于 A B 7 5 7 15 C D 4 15 2 3 解析 选 C l1的方程可化为 9x 12y 6 0 由平行线间的距离公式得 d 6 10 92 122 4 15 2 若点A 1 0 和点B 4 0 到直线l的距离分别为 1 和 2 则这样的直线l共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析 选 C 若直线l的斜率不存在 取直线l x 2 满足条件 若直线l的斜 率存在 当A B两点在直线l的两侧时 易知直线l不存在 当A B两点在直线l的同侧 时 设直线l的方程为y kx b 由题意可得Error 解得Error 或Error 可得直线l y x 2 4 或y x 综上 满足条件的直线l共有 3 条 故选 C 2 2 2 4 2 2 3 已知两平行直线l1 l2分别过点P 1 3 Q 2 1 它们分别绕P Q旋转 但 始终保持平行 则l1 l2之间的距离的取值范围是 A 0 B 0 5 C 0 5 D 0 17 解析 选 C 当直线l1 l2与直线PQ垂直时 它们之间的距离d达到最大 此时d 5 0 d 5 2 1 2 1 3 2 4 直线l到直线x 2y 4 0 的距离和原点到直线l的距离相等 则直线l的方程是 解析 由题意设所求l的方程为x 2y C 0 则 解得C 2 故直 C 4 12 22 C 12 22 线l的方程为x 2y 2 0 答案 x 2y 2 0 5 已知直线l与直线l1 2x y 3 0 和l2 2x y 1 0 的距离相等 则l的方程是 解析 法一 由题意可设l的方程为 2x y c 0 于是有 c 3 22 1 2 c 1 22 1 2 即 c 3 c 1 解得c 1 则直线l的方程为 2x y 1 0 法二 由题意知l必介于l1与l2中间 故设l的方程为 2x y c 0 则 c 1 3 1 2 则直线l的方程为 2x y 1 0 答案 2x y 1 0 6 已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x 3y 13 0 对角线AC BD的交点为 P 1 5 求正方形ABCD其他三边所在直线的方程 解 点P 1 5 到lCD的距离为d 则d 3 10 lAB lCD 可设lAB x 3y m 0 点P 1 5 到lAB的距离也等于d 则 m 16 10 3 10 又 m 13 m 19 即lAB x 3y 19 0 lAD lCD 可设lAD 3x y n 0 则P 1 5 到lAD的距离等于P 1 5 到lBC的距离 且都等于d 3 10 n 5 或n 1 n 2 10 3 10 则lAD 3x y 5 0 lBC 3x y 1 0 所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x 3y 19 0 3x y 5 0 3x y 1 0 7 已知点P 2 1 1 求过点P且与原点的距离为 2 的直线的方程 2 求过点P且与原点的距离最大的直线的方程 并求出最大距离 3 是否存在过点P且与原点的距离为 6 的直线 若存在 求出该直线的方程 若不存 在 说明理由 解 1 当直线的斜率不存在时 方程x 2 符合题意 当直线的斜率存在时 设斜率为k 则直线方程应为y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 根据题意 得 2 解得k 2k 1 k2 1 3 4 则直线方程为 3x 4y 10 0 故符合题意的直线方程为x 2 0 或 3x 4y 10 0 2 过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线 则其斜率k 2 所以其方程为y 1 2 x 2 即 2x y 5 0 最大距离为 5 3 不存在 理由 由于原点到过点 2 1 的直线的最大距离为 而 6 故不存 55 在这样的直线