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www.ks5u.com第2讲恒等变换与解三角形做小题激活思维1在ABC中,a3,b5,sin A,则sin B()A.B.C.D1B根据,有,得sin B.故选B.2在ABC中,已知a2b2bcc2,则角A为()A. B.C. D.或C由a2b2bcc2,得b2c2a2bc,由余弦定理的推论得:cos A,A.3若sin()sin cos()cos ,且为第二象限角,则tan()A7 BC7DBsin()sin cos()cos cos()cos sin()sin cos()cos ,即cos .又为第二象限角,tan ,tan.4在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a3,C,ABC的面积为,则c()A13B3C DCABC的面积为,absin C3b,b1,由余弦定理得c.故选C.5已知tan ,则_.tan .6函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin,函数的最小正周期T.扣要点查缺补漏1正弦定理2R(其中R为ABC外接圆的半径),如T1.2余弦定理及其变形a2b2c22bccos A,cos A,如T2.3如图所示,在ABC中,AD平分角A,则.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ;(2)cos()cos cos sin sin ;(3)tan(),如T3.5面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A(abc)r(其中r为ABC内切圆的半径),如T4.6二倍角公式及其变形(1)sin 22sin cos ;(2)(3)tan 2.如T5.7辅助角公式asin xbcos xsin(x),其中sin ,cos ,如T6.三角恒等变换(5年3考)高考解读高考对该点的考查突出一个“变”字,即“变角、变名、变形”.从“角”入手,用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1一题多解(2016全国卷)若cos,则sin 2 ( )A.B.CDD法一:(公式法)cos,sin 2coscos2cos21,故选D.法二:(整体代入法)由cos(sin cos ),得sin cos ,所以(sin cos )212sin cos ,即sin 22sin cos .2(2018全国卷)已知sin cos 1,cos sin 0,则sin()_.sin cos 1,cos sin 0,22得12(sin cos cos sin )11,sin cos cos sin ,sin().教师备选题1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.CD.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30,故选D.2一题多解(2014全国卷)设,且tan ,则()A3B2C3D2B法一:由tan 得,即sin cos cos cos sin ,sin()cos sin.,由sin()sin,得,2.法二:tan cottantan,k,kZ,22k,kZ.当k0时,满足2,故选B.三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”:分析未知角与已知角间的差别与联系,实现角的合理拆分;(2)看“名”:常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一;(3)看“形”,常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一1(给值求值)若,都是锐角,且cos ,sin(),则cos ()A. B.C.或 D.或A因为,都是锐角,且cos ,所以,又sin(),所以,所以cos(),sin ,cos cos()cos()cos sin()sin ,故选A.2(给角求值)(2019安阳模拟)化简等于()A2BC1D1C1.3.(给值求角)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,则2的值为_cos ,sin ,tan 7;cos ,sin ,tan ,tan 2,tan(2)1,2,2.利用正、余弦定理解三角形(5年11考)高考解读高考对该点的考查常以平面几何图形为载体,借助三角恒等变换公式及正(余)弦定理实现边角的相互转化,从而达到求值的目的,预测2020年高考依旧这样考查.1(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C()A.B.C. D.C根据题意及三角形的面积公式知absin C,所以sin Ccos C,所以在ABC中,C.2(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C1,a3,求ABC的周长切入点:ABC面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.关键点:余弦定理公式的变形:a2(bc)22bc2bccos A.解(1)由题设得acsin B,即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C,即cos(BC).所以BC,故A.由题意得bcsin A,a3,所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9,即(bc)23bc9.由bc8,得bc.故ABC的周长为3.教师备选题1一题多解(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B,则ABC的面积为_6法一:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以a2b2c2,所以A,所以ABC的面积S266.2(2018全国卷)在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.(1)求cosADB;(2)若DC2,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得.由题设知,所以sinADB.由题设知,ADB90,所以cosADB.(2)由题设及(1)知,cosBDCsinADB.在BCD中,由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.即BC5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,(1)分析已知的边角关系,选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质(三角形内角和,大边对大角等)求解三角形.(2)在三角形中,正、余弦定理可以实现边角互化,尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中,有b2c2和bc两项,二者的关系b2c2(bc)22bc经常用到.提醒:解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中,D90,BAD120,AD1,AC2,AB3,则BC()A.B.C.D2C如图,在ACD中,D90,AD1,AC2,所以CAD60.又BAD120,所以BACBADCAD60.在ABC中,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC7,所以BC.故选C.2(知识间的内在联系)已知ABC的面积为S,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4Sa2(bc)2,bc4,则S()A2B4C.D2A由4Sa2(bc)2可得4bcsin Aa2b2c22bc,2bcsin A2bc2bccos A,即sin Acos A1,所以sin,又0A,所以A,即A,A.SABCbcsin A42.故选A.3(以空间图形为载体)如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上,仰角为60;在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上,仰角为30.若A,B两点相距130 m,则塔的高度CD_m.10设CDh,则AD,BDh.在ADB中,ADB1802040120,则由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120,可得13023h22h,解得h10,故塔的高度为10 m4(恒等变换与解三角形)(2019北京高考)在ABC中,a3,bc2,cos B.(1)求b,c的值;(2)求sin(BC)的值解(1)a3,bc2,cos B.由余弦定理,得b2a2c22accos B9(b2)223(b2),b7,cb25.(2)在ABC中,cos B,sin B,
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