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www.ks5u.com奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xD,都有f(x)f(x)0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)maxf(x)min0,且若0D,则f(0)0.【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,h(x)af(x)bg(x)2在区间 (0,)上有最大值5,那么h(x)在(,0)上的最小值为()A5B3C1D5(2)(2019郑州模拟)已知函数f(x)log3(x)在k,k,(k0)上的最大值与最小值分别为M和m,则Mm()A4B2C1D0(1)C(2)B(1)令F(x)h(x)2af(x)bg(x),所以F(x)为奇函数,x(0,)时,h(x)5, F(x)h(x)23.又x(,0)时,x(0,),F(x)3F(x)3,h(x)321,故选C.(2)已知f(x)log3(x),则f(x)log3(x),则f(x)f(x)2,函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数,令g(x)f(x)1,则g(x)g(x)f(x)1f(x)10,则g(x)在定义域内为奇函数设g(x)的最大值为t,则最小值为t,则f(x)的最大值为Mt1,最小值为mt1,则Mm2,故选B.【链接高考1】(2012新课标全国)设函数f(x)的最大值为M,最小值为m,则Mm_.2显然函数f(x)的定义域为R,f(x)1,设g(x),则g(x)g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0,Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.抽象函数的周期性与对称性1函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.2函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立,则yf(x)的图象关于直线x对称,特别地,若f(ax)f(ax)恒成立,则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0,即f(x)f(2ax),则f(x)的图象关于点(a,0)对称【典例2】(1)(2019德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x2)f(x),当0x1时,f(x)x2,则f(2 019)()A2 0192B1C0D1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,g(x)(x1)31,若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x2 019,y2 019),则 (xiyi)_.(1)D(2)4 038(1)根据题意,函数f(x)满足f(x2)f(x),则有f(x4)f(x2)f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2 019)f(12 020)f(1),又由函数为奇函数,则f(1)f(1)1,则f(2 019)1,故选D.(2)由g(x)(x1)31知g(x)g(2x)2,得函数yg(x)的图象关于点(1,1)对称又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称,则x1x2 019x2x2 018x3x2 0172x1 0102,y1y2 019y2y2 018y3y2 0172y1 0102,故x1x2x2 018x2 0192 019,y1y2y2 018y2 0182 019,即 (xiyi)4 038.【链接高考2】(2014大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数,且f(1)1,则f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1D由f(x2)是偶函数可得f(x2)f(x2),又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2),所以f(x2)f(x2),f(x4)f(x),f(x8)f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)f(81)f(1)1.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)0,所以f(8)f(0)0,故f(8)f(9)1.两个经典不等式1.对数形式:1ln(x1)x(x1),当且仅当x0时,等号成立2指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立【典例3】设函数f(x)1ex,证明:当x1时,f(x).证明当x1时,f(x)当且仅当exx1.令g(x)exx1,则g(x)ex1.当x0时g(x)0,g(x)在(,0是减函数;当x0时g(x)0,g(x)在0,)是增函数于是函数g(x)在x0处达到最小值,因而当xR时,g(x)g(0),即exx1.所以当x1时,f(x).【链接高考3】(2012全国卷)已知函数f(x),则yf(x)的图象大致为()B由题意得f(x)的定义域为x|x1且x0,所以排除选项D.令g(x)ln(x1)x,则由不等式ln(x1)x知,g(x)0恒成立,故f(x)0恒成立,所以排除A,C,故选B.三点共线的充要条件及其结论推广1.设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点D与A,B共线的充要条件是存在实数与,使得,且1.2等和线的证明若,且xy,那么xy,如图1所示. 过点C作直线lAB,在l上任作一点C,连接OCABD,如图2所示图1图2同理可得,以,为基底时,对应的系数和依然为.【典例4】一题多解在梯形ABCD中,已知ABCD,AB2CD,M,N分别为CD,BC的中点若,则_.法一:(常规解法)如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT,T,M,N三点共线,1,.法二:(等和线定理法) 如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT,又,结合等和线定理得 .【链接高考4】(2017全国卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则的最大值为()A3B2C.D2A建立如图所示的直角坐标系,则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E,连接CE,则CEBD.CD1,BC2,BD,EC,即圆C的半径为,P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0,y0),则(为参数),而(x0,y0),(0,1),(2,0)(0,1)(2,0)(2,),x01cos ,y01sin .两式相加,得1sin 1cos 2sin()3,当且仅当2k,kZ时,取得最大值3.故选A.数列的相关结论1.若等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2mm(amam1),S偶S奇md,.2若等差数列an的项数为奇数2m1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m1(2m1)am,S奇S偶am,.3公比q1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,成等比数列(nN*)4若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶qS奇【典例5】(1)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则()A2 B.C.D3(2)等差数列an的前n项和为Sn,已知am1am1a0,S2m138,则m_.(1)B(2)10由已知3,得S63S3,因为S3,S6S3,S9S6也为等比数列,所以(S6S3)2S3(S9S6),则(2S3)2S3(S93S3)化简得S97S3,从而.(2)由公式am1am1a0得2ama0,解得am0或2.又S2m1(2m1)am38.显然可得am0,所以am2.代入上式可得2m119,解得m10.【链接高考5】(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m()A3B4C5D6CSm12,Sm0,Sm13,amSmSm12,am1Sm1Sm3,公差dam1am1,由公式Snna1dna1,得由得a1,代入可得m5.多面体的外接球和内切球1.长方体的对角线长d与共点的三条棱a,b,c之间的关系为d2a2b2c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2a2b2c2.2棱长为a的正四面体内切球半径ra,外接球半径Ra.【典例6】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16,则该三棱柱的侧棱长为()AB2C4D3A由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,因为外接球的面积是16,所以外接球半径为2,因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形,斜边长,所以该三棱柱的侧棱长为.【链接高考6】(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A12 B.C8D4A设正方体棱长为a,则a38,所以a2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4()212,故选A.圆锥曲线的中点弦问题1在椭圆E:1(ab0)中:(1)如图1所示,若直线ykx(k0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k.(2)如图2所示,若直线ykx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2.(3)如图3所示,若直线ykxm(k0且m0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0k.
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