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等腰三角形三线合一 例1:如图,四边形ABCD中,ABDC,BE、CE分别平分ABC、BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。变1:如图,ABCD,A90,AB2,BC3,CD1,E是AD边中点。求证:CEBE。 变2:如图,四边形ABCD中,ADBC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分BAD、ABC. (1)求证:AEBE; (2)求证:E是CD的中点; (3)求证:AD+BC=AB.BCEAD 变3:ABC是等腰直角三角形 ,BAC=90,AB=AC.若D为BC的中点,过D作DMDN分别交AB、AC于M、N,求证:(1)DMDN。若DMDN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。(1) 已知:如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于点D求证:DE=DF (2)已知:如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点求证:BE=CF 利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图,在ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PDAB于D,PEAC于E,CFAB于F,那么PD+PE与CF相等吗? 根据等腰三角形的性质寻求规律例1在ABC中,AB=AC,1=ABC,2=ACB,BD与CE相交于点O,如图,BOC的大小与A的大小有什么关系? 若1=ABC,2=ACB,则BOC与A大小关系如何?若1=ABC,2=ACB,则BOC与A大小关系如何?会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长利用等腰三角形的性质证线段相等例3如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作PBQ=60,且BQ=BP,连结CQ (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断PQC的形状,并说明理由例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为( )A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能确定例2、已知AD为ABC的高,AB=AC,ABC周长为20cm,ADC的周长为14cm,求AD的长。ABC例3、如图,已知BC=3,ABC和ACB的平分线相交于点O,OEAB,OFAC,求OEF 的周长。ABFCOE例4、如图,已知等边ABC中,D为AC上中点,延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。ABCDE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是( )A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例6、(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为 。 (2)直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为 ; (3)若直角三角形三边为1,2,c,则c= 。例7、下列说法:若在ABC中a2+b2c2,则ABC不是直角三角形;若ABC是直角三角形,C=900,则a2+b2=c2;若在ABC中,a2+b2=c2,则C=900;若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 (把你认为正确的序号填在横线上)。例8、正三角形ABC所在平面内有一点P,使得PAB、PBC、PCA都是等腰三角形,则这样的P点有()(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个例9. 四边形ABCD中,AB=BC,ABC=CDA=90,BEAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=()A2B3CD例10. 已知ABC为正三角形,P为其内一点,且AP=4,BP=,CP=2,则ABC 的边长为 ( )(A) (B) (C)4 (D)三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。2、在ABC中,AB=AC,B=400,则A= 。3、等腰三角形的一个内角是700,则它的顶角为 。4、有一个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140呢 DCBA5、如图,在RtABC中,C105o,直线BD交AC于D,把直角三角形沿着直线BD翻折,点C恰好落在斜边AB上,如果ABD是等腰三角形,那么A等于 ( )(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o6、若ABC三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则ABC的形状为( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 ( )。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( )A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中,A与B度数之比为52,则A的度数是( )A、100 B、75 C、150 D、75或10010、如图,P、Q是ABC边BC上的两点,且QCAPAQBPPQ,则BAC( )A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如图,ABC中,ABAC,BD、CE为中线,图中共有等腰三角形( )个。10题图11题图12题图A、4个 B、6个 C、3个 D、5个 12、如图,ABAC,AEEC,ACE280,则B的度数是( ) A、600 B、700 C、760 D、45013、如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上(端点A、C除外),设甲虫P到另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是( ) 【解题方法指导】 例1. 已知,如图,ABACCD,求证:B2D 例2. 已知,如图,ABC是等边三角形,AD/BC,ADBD,BC6,求AD的长。 【考点指要】 等腰三角形、等边三角形及含30角的直角三角形是应用非常广泛的图形【典型例题分析】 例1. 如图,等腰三角形ABC的顶角为120,腰长为10,则底边上的高AD_。 例2. 已知,如图,ABC中,C90,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD8,A30,求CD的长。 例3. 已知,如图,ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AECD,又BD与CE交于点F,试求BFE的度数。【综合测试】 1. 已知,如图,ABAC,ABDACD,求证:DBDC 2. 已知,如图,D、E是BC上两点,ABAC,ADAE,求证:BDCE 3. 已知,如图,ABC中,DE/BC,ABAC,求证:ADAE 4. 已知,如图,ABC中,ABAC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BDCE,求证:DFEF 5. 已知,如图,D是BC上一点,ABC、BDE都是等边三角形,求证:ADCE 6. 已知,如图,ABC中,B90,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又C15,EC10,求AB的长。例6、如图11,在ABC中,A90,ABAC,D为BC边中点,E、F分别在AB、AC上,且DEDF,求证:AEAF是一个定值.证明:连接AD, ABAC,D为BC中点,ADBC,BAC90,ABAC, BC45,BAD45,CAD45,ADBDCD,EDF90,EDAADF90,又由ADBC得BDEADE90,BDEADF,在BDE和ADF中,BDAF,BDAD,BDEADF,BDEADF,BEAF,AEAFAEBEAB(定值).思考:四边形AEDF的面积是否也是定值呢?为什么?例4、如图9,已知AD为ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BFAC,FDCD,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗?证明:线段BEAC,理由如下:ADBC,ADBADC90,FBDBFD90, 在RtBDF和RtADC中,BFAC,FDCD,RtBDFRtADC,BFDC,FBDC90,BEC180(FBDC)1809090,即BEAC.例5、如图10,在ABC中,ACB90,ACBC,M是AB上一点,求证:.证明:过C作CDAB于点D,ACB90,ACBC,CDAB,AB45,ACDBCD45,AACD,BBCD,ADBD,BDCD,即ADBDCD,CDAB,.思考:请同
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