课时分层作业课时分层作业 十四十四 建议用时 60 分钟 基础达标练 一 选择题 1 若点A在点C的北偏东 30 点B在点C的南偏东 60 且AC BC 则点A在点B 的 A 北偏东 15 B 北偏西 15 C 北偏东 10 D 北偏西 10 B B 如图所示 ACB 90 又AC BC CBA 45 而 30 90 45 30 15 点A在点B的北偏西 15 2 已知A船在灯塔C北偏东 80 处 且A到C的距离为 2 km B船在灯塔C北偏西 40 处 A B两船的距离为 3 km 则B到C的距离为 A 1B 2 1 km 66 C 3D 2 2 A A 由条件知 ACB 80 40 120 设BC x km 则由余弦定理知 9 x2 4 4xcos 120 x 0 x 1 6 3 如图所示 设A B两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在A的同侧 在所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离是m米 BAC ACB 则A B两点 间的距离为 A B msin sin msin sin C D msin sin msin sin sin C C 在 ABC中 ABC AC m 由正弦定理 得 AB sin AC sin ABC 所以AB msin sin msin sin 4 一艘船上午 9 30 在A处 测得灯塔S在它的北偏东 30 的方向 且与它相距 8 海里 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达B处 此时又测得灯塔S在它 2 的北偏东 75 的方向 此船的航速是 A 8 海里 小时 62 B 8 海里 小时 62 C 16 海里 小时 62 D 16 海里 小时 62 D D 由题意得在三角形SAB中 BAS 30 SBA 180 75 105 BSA 45 由正弦定理得 SA sin 105 AB sin 45 即 得AB 8 8 2 sin 105 AB sin 45 62 因此此船的航速为 16 海里 小时 8 6 2 1 262 5 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度 在黄浦江西岸选择甲 乙两观测点 在甲 乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45 30 在水平面上测得电视塔与甲地连线及 甲 乙两地连线所成的角为 120 甲 乙两地相距 500 m 则电视塔在这次测量中的高度 是 A 100 mB 400 m 2 C 200 mD 500 m 3 D D 由题意画出示意图 设高AB h 在 Rt ABC中 由已知BC h 在 Rt ABD中 由已知BD h 3 在 BCD中 由余弦定理BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD得 3h2 h2 5002 h 500 解之得h 500 m 故选 D 二 填空题 6 甲 乙两楼相距a 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 则甲 乙两楼的高分别是 a a 甲楼的高为atan 60 a 3 2 3 33 乙楼的高为a atan 30 a a a 33 3 3 2 3 3 7 江岸边有一炮台高 30 m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 由炮台顶 部测得俯角分别为 45 和 60 而且两条船与炮台底部连线成 30 角 则两条船相距 m 10 如图 OM AOtan 45 30 m 3 ON AOtan 30 30 10 m 3 33 在 MON中 由余弦定理得 MN 900 300 2 30 10 3 3 2 10 m 3003 8 甲船在A处观察乙船 乙船在它的北偏东 60 的方向 两船相距a海里的B处 乙 船向正北行驶 若甲船是乙船速度的倍 甲船为了尽快追上乙船 则应取北偏东 3 填角度 的方向前进 30 设两船在C处相遇 则由题意 ABC 180 60 120 且 由正弦 AC BC3 定理得 sin BAC AC BC sin 120 sin BAC3 1 2 又 0 BAC 60 所以 BAC 30 三 解答题 9 如图所示 在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD 今在距离B点 60 m 的地 面上取一点A 若测得 CAD 45 求此电视塔的高度 解 设CD x m BAC 则 tan 又 DAB 45 tan DAB 30 60 1 2 BD AB x 30 60 又 tan 45 3 tan 45 tan 1 tan 3 x 150 m 即电视塔的高度为 150 m x 30 60 10 一艘海轮从A出发 沿北偏东 75 的方向航行 2 2 n mile 到达海岛B 然后从 3 B出发 沿北偏东 15 的方向航行 4 n mile 到达海岛C 1 求AC的长 2 如果下次航行直接从A出发到达C 求 CAB的大小 解 1 由题意 在 ABC中 ABC 180 75 15 120 AB 2 2 BC 4 3 根据余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC 2 2 2 42 2 2 4 24 33 所以AC 2 6 故AC的长为 2n mile 6 2 根据正弦定理得 sin BAC 4 3 2 2 6 2 2 所以 CAB 45 能力提升练 1 如图所示为起重机装置示意图 支杆BC 10 m 吊杆AC 15 m 吊索AB 5 m 19 起吊的货物与岸的距离AD为 A 30 m B m 15 2 3 C 15 mD 45 m 3 B B 在 ABC中 cos ABC 102 5 19 2 152 2 10 5 19 7 2 19 ABC 0 180 sin ABC 1 7 2 19 2 3 3 2 19 在 Rt ABD中 AD AB sin ABC 5 19 3 3 2 19 15 2 3 2 如图 某山上原有一条笔直的山路BC 现在又新架设了一条索道AC 小李在山脚B 处看索道AC 发现张角 ABC 120 从B处攀登 400 米后到达D处 再看索道AC 发现 张角 ADC 150 从D处再攀登 800 米方到达C处 则索道AC的长为 米 A 100B 200 33 C 300D 400 313 D D 在 ABD中 BD 400 ABD 120 因为 ADB 180 ADC 30 所以 DAB 30 所以AB BD 400 AD 400 在 ADC中 AB2 BD2 2AB BDcos120 3 DC 800 ADC 150 AC2 AD2 DC2 2AD DC cos ADC 400 3 2 8002 2 400 800 cos150 4002 13 所以AC 400 故索道AC的长为 400 313 米 13 3 一海轮以 20 n mile h 的速度向正东方向航行 它在A点测得灯塔P在船的北偏东 60 方向上 2 h 后船到达B点时 测得灯塔P在船的北偏东 45 方向上 则B点到灯塔P 的距离为 n mile 20 由题可知 在 ABP中 AB 40 PAB 30 62 ABP 135 BPA 15 由正弦定理得 AB sin 15 BP sin 30 BP 20 n mile AB sin 30 sin 15 40 1 2 6 2 462 4 如图所示 一船自西向东匀速航行 上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75 距塔 68 海里的M处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船航行的速度为 海里 时 由题可知PM 68 MPN 120 N 45 17 6 2 由正弦定理 得MN 68 34 MP sin 45 MN sin 120 3 226 速度v 海里 时 34 6 4 17 6 2 5 如图 一辆汽车从O点出发 沿海岸一条直线公路以 100 km h 的速度向东匀速行驶 汽车开动时 在O点南偏东方向距O点 500 km 且在海岸距离为 300 km 的海上M处有一快艇 与汽车同时出发 要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机 问快艇至少必须以多大的速 度行驶 才能把物品递送到司机手中 并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角 解 如图所示 设快艇从M处以v km h 的速度出发 沿MN方向航行 t h 后与汽车在N点相遇 在 MON中 MO 500 ON 100t MN vt 设 MON 由题意知 sin 则 cos 3 5 4 5 由余弦定理知MN2 OM2 ON2 2 OM ON cos 即v2t2 5002 1002t2 2 500 100t 4 5 整理得 v2 2 3 600 500 1 t 80 当 即t 时 v 3 600 1 t 80 500 25 42min vmin 60 即快艇至少必须以 60 km h 的速度行驶 此时MN 60 375 25 4 MQ 300 设 MNO 则 sin 300 375 4 5 90 即MN与OM所成的角为 90