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专题03利用导数研究函数的性质第三季1设函数在定义域上是单调函数,且,若不等式对恒成立,则的取值范围是( )A BC D【答案】D【解析】据此可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,函数的最小值为,结合恒成立的结论可知:的取值范围是.本题选择D选项.2定义在函数上的函数满足,则关于x的不等式的解集为( )A B C D【答案】B【解析】令,则,函数在上单调递增又,结合题意,不等式可转化为,即,解得,原不等式的解集为故选B3已知函数的值域与函数的值域相同,则的取值范围为A B C D【答案】C【解析】,时,;时,在上递增,在上递减,即的值域为, ,则,在上递增,在上递减,要使的值域为,则,又,的范围是,故选C.4若函数在上为增函数,则的取值范围为( )A B C D【答案】B【解析】依题意可得对x恒成立,令x+1=t(1t0时,解得.当a0,所以h(x)在区间(e,e2上单调递增,故h(x)maxh(e2)=所以a.所以实数a的取值范围是,)故选B.13设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是().A B C D【答案】A【解析】设,由题意知存在唯一的整数,使得在直线的下方, 当时, ,当时, 当时,取最小值,又,直线恒过定点且斜率为m,故且解得,故选A.14设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】设,由题意知,存在唯一的整数使得在直线的下方,当时,当时,当时,取最小值,当时,当时,直线恒过定点且斜率为,故且,解得,故选:B15如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( )A B C D【答案】B【解析】小圆柱的高分为上下两部分,上部分同大圆柱一样为5,下部分深入底部半球内设为h (0h5),小圆柱的底面半径设为r (0r5),由于和球的半径构成直角三角形,即+,所以小圆柱体积,(0h5),求导,当0h时,体积单调递增,当h5时,体积单调减。所以当h=时,小圆柱体积取得最大值,故选B.16已知数列的前项和为,则下列选项正确的是( )A BC D【答案】B【解析】构造函数,所以在上递增,可得,令,化为,即,故选B.17已知函数,在函数图象上任取两点,若直线的斜率的绝对值都不小于5,则实数的取值范围是( )A B C D【答案】B则对恒成立,则,即,解之得或.又,所以.18已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,点B在AC上的射影为D,则三棱锥体积的最大值为( )A B C D【答案】D【解析】如下图,由题意,取的中点为,则为三角形的外心,且为在平面上的射影,所以球心在的延长线上,设,则,所以,即,所以.故,过作于,设(),则,设,则,故,所以,则,所以的面积,令,则,因为,所以当时,即此时单调递增;当时,此时单调递减。所以当时,取到最大值为,即的面积最大值为。当的面积最大时,三棱锥体积取得最大值为.故选D.19已知函数,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是 A B C D【答案】D【解析】函数g(x)=f(x)-ax在区间上有三个零点,y=f(x)与y=ax在区间上有三个交点;由函数y=f(x)与y=ax的图象可知, ;f(x)=lnx,(x1), ,设切点坐标为(t,lnt),则 ,解得:t=e 则直线y=ax的斜率 故选:D20设0m2,已知函数,对于任意x1,x2m-2,m,都有|f(x1)-f(x2)|1,则实数m的取值范围为A BC D【答案】B【解析】设,函数,对于任意,都有,等价于在上,求导时,在为减函数,因为,在上为减函数,得或,又,即实数的范围是,故选B.
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