2 一 重点与难点 重点 难点 分式线性变换及其映射特点 分式线性变换与初等函数相结合 求一些简单区域之间的映射 3 二 内容提要 共形映射 分式线性映射 一一对应性 保角性 保圆性 几个初等函数构成的映射 分式线性映射的确定 对确定区域的映射 保对称性 4 1 的几何意义 正向之间的夹角 5 的一条有向光滑曲线 之间的夹角 6 2 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关 3 保角性 方向不变的性质 此性质称为保角性 夹角在其大小和方向上都等同于经过 7 4 伸缩率 方向无关 所以这种映射又具有伸缩率的不变性 8 2 共形映射 保角映射 也称为第一类共形映射 仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射 称为第二类共形映射 质 1 保角性 2 伸缩率不变性 9 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成 3 分式线性映射 10 分式线性映射的性质 1 分式线性映射在扩充复平面上一一对应 2 分式线性映射在扩充复平面上具有保角性 11 注意 1 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周 12 4 分式线性映射具有保对称性 这一性质称为保对称性 13 4 唯一决定分式线性映射的条件 14 判别方法 对确定区域的映射 在分式线性映射下 C的内部不是映射成 方法1 在分式线性映射下 如果在圆周C内任取 若绕向相反 则C 方法2 15 分式线性映射对圆弧边界区域的映射 16 5 几个初等函数所构成的映射 17 特殊地 因此将角形域的张角拉大 或缩小 时 就可利用幂函数所构成的共形映射 18 如果要把带形域映射成角形域 常利用指数函数 特殊地 映射特点 19 三 典型例题 解1 利用分式线性映射不变交比和对称点 20 由交比不变性知 21 解2 由对称点的不变性知 利用不变对称点 22 解3 将所求映射设为 利用典型区域映射公式 23 例2求一个分式线性映射它将圆映成圆 且满足条件 解 因映成的映射为 24 25 例3求一个分式线性映射它将圆映成圆 且满足条件 解 26 与互为反函数 27 故 28 解 29 例5试证明在映射下 互相正交的直线族与依此映射成互相正交的直线族与圆族 证 30 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交 故命题得证 证毕 31 例6试将如图所示的区域映射到上半平面 由分式线性映射的保圆性知 将铅直带形域 32 为所求映射 33 放映结束 按Esc退出