实际问题中导数的意义 1 实际问题中的应用 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求函数的最大 小 值的问题 建立目标函数 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路 在建立目标函数时 一定要注意确定函数的定义域 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 2 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 3 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 探究点一 面积 体积的最值问题例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 在实际问题中 如果函数f x 在某区间内只有一个x0使f x0 0 而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 f x0 就是所求的最大值或最小值 所说区间的也适用于开区间或无穷区间 例2 要生产一批带盖的圆柱形铁桶 要求每个铁桶的容积为定值V 怎样设计桶的底面半径才能使材料最省 此时高与底面半径比为多少 探究点二 利润最大问题例3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时 利润L最大 分析 利润L等于收入R减去成本C 而收入R等于产量乘价格 由此可得出利润L与产量q的函数关系式 再用导数求最大利润 探究点三 费用 用材 最省问题已知A B两地相距200km 一只船从A地逆水行驶到B地 水速为8km h 船在静水中的速度为vkm h 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12km h 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船的实际速度为多少 课堂检测 跟踪训练1学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 跟踪训练2现有一批货物由海上从A地运往B地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 A地至B地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度行驶 课堂小结 1 解有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实际意义 2 根据问题的实际意义来判断函数最值时 如果函数在此区间上只有一个极值点 那么这个极值就是所求最值 不必再与端点值比较 3 相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单关于导数 我们知道 它是微积分的核心概念 它有着及其丰富的背景和广泛的应用 我们的教材 通过大量的实例 引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程 体会导数的思想 理解导数的含义 并且通过用导数研究函数的单调性 极值等性质和解决各种最优化问题 让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量