2020 届高三上学期期末考试 理科数学试题 第 I 卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题所给出的四个选项中 只 有 一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 1 已知复数 z满足 13 2 3i zi i为虚数单位 则z在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 圆的方程为 22 2100 xyxy 则圆心坐标为 A 1 1 B 1 1 2 C 1 2 D 1 1 2 3 2019 年第十三届女排世界杯共12 支队伍参加 中国女排不负众望荣膺十冠王 将 12 支队 伍的积分制成茎叶图如图所示 则这组数据的中位数和平均数分别为 A 17 5 和 17 B 17 5 和 16 C 17 和 16 5 D 17 5 和 16 5 4 某公司有3000 名员工 将这些员工编号为1 2 3 3000 从这些员工中使用系统抽 样的方法抽取200 人进行 学习强国 的问卷调查 若84 号被抽到则下面被抽到的是 A 44 号B 294 号C 1196 号D 2984 号 5 已知直线1 2 20lxy 2 410laxy 若12 llP 则 实数a的值为 A 8 B 2 C 1 2 D 2 6 执行如图所示的程序框图 则输出 n的值是 A 1 B 2 C 3 D 4 7 设2 log0px 33 x q 则 p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分条件也不必要条件 8 若函数 2 2f xxax与 1 a g x x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围 A 1 0 0 1 UB 1 0 0 1 UC 0 1 D 0 1 9 已知两点A 2 0 B 0 2 点 C 是圆 2 y2 2 0 上任意一点 则 ABC 面积 的最小值是 A 3 2 B 3 2 C 3 2 2 D 32 2 10 将 颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a b 则关于 x y方程组 22 80 40 axby xy 有实 数解的概率为 A 2 9 B 7 9 C 7 36 D 9 36 11 如图 12 FF 分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左 右焦点 过 1 F的直线l与 C的左 右两支分别交于点AB 若2 ABF 为等边三角形 则双曲线C的离心率为 A 4 B 7 C 2 3 3 D 3 12 如图 三棱锥PABC的四个顶点恰是长 宽 高分别是 m 2 n 的长方体的顶点 此 三棱锥的体积为2 则该三棱锥外接球体积的最小值为 A 256 3 B 8 2 3 C 32 3 D 36 第 卷 非选择题共90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 满分20 分 13 已知 y 满足约束条件 10 10 1 xy xy y 则2zxy的最小值为 14 斜率为 2 的直线 l 经过抛物线 2 8yx的焦点 F 且与抛物线相交于 A B两点 则线段 AB 的 长为 15 若倾斜角为 的直线l与曲线 3 yx相切于点1 1 则 2 cossin2的值为 16 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在 x轴上 过点2 1作圆 22 4xy的切线 切点分别为 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 某公司在若干地区各投入4 万元广告费用 并将各地的销售收益绘制成频率分 布直方图 如图所示 由于工作人员操作失误 横轴的数据丢失 但可以确定横轴是从 0 开 始计数的 根据频率分布直方图 计算图中各小长方形的宽度 根据频率分布直方图 估计投入4 万元广告费用之后 销售收益的平均值 以各组的 区间中点值代表该组的取值 III 按照类似的研究方法 测得另外一些数据 并整理得到下表 广告投入x 单位 万元 1 2 3 4 5 销售收益 y 单位 百万元 2 3 2 7 表中的数据显示 x与y之间存在线性相关关系 请将 2 的结果填入空白栏 并计算y关 于x的回归方程 附公式 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx aybx 18 12 分 已知函数 2 2 3sincos2cos1f xxxx xR 当 0 2 x时 求函数 f x的最小值和最大值 设ABC的内角 A B C的对应边分别为 a b c 且 3c 0f C 若向量 1 sin mA u r 与向量 2 sin nB r 共线 求 a b的值 19 12 分 如图 1 在等腰Rt ABC中 90C D E分别为AC AB的中点 F为 CD的中点 G在线段BC上 且3BGCG 将 ADE 沿DE折起 使点A到1 A的位置 如图 2 所示 且 1 A FCD 证明 BE平面 1 A FG 求平面 1 A FG与平面 1 A BE所成锐二面角的余弦值 20 12 分 已知动圆 M 在圆1 F 22 1 1 4 xy外部且与圆 1 F相切 同时还在圆 2 F 2249 1 4 xy内部与圆2 F 相切 求动圆圆心 M 的轨迹方程 记 1 中求出的轨迹为 C C与x轴的两个交点分别为1 A 2 A P是C上异于1 A 2 A的动点 又直线 6lx 与x轴交于点D 直线 1 AP 2 A P分别交直线 l于E F两点 求证 DEDF为定值 21 12 分 已知函数 b f xax x 在点 1 1 f处的切线方程为22yx 求 a b的值 设函数 2 1 lng xmf xmx mR 求 g x 在 1 上的单调区间 III 证明 1111 1ln 21 3521221 n n nn L nN 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系oy 中 直线l的参数方程为 ty tx 2 2 1 2 2 1 t 为参数 在以原点O 为极 点 轴正半轴为极轴的极坐标系中 圆C 的方程为cos4 写出直线l的普通方程和圆C 的直角坐标方程 若点 P 坐标为 1 1 圆 C 与直线l交于 A B 两点 求 PA PB 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1xyz 证明 2221 3 xyz 设 x y z为正数 求证 111 1 1 1 8 xyz 理科数学试题参考答案 1 A 2 D 3 D 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 A 10 B 11 B 12 C 13 3 14 10 15 1 2 16 17 设各小长方形的宽度为 m 由频率分布直方图各小长方形面积总和为1 可知 0 080 10 140 120 040 020 51mm 故 2m 由 知各小组依次是0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 其中点分别为 1 3 5 7 9 11 对应的频率分别为 0 16 0 20 0 28 0 24 0 08 0 04 故可估计平均值为1 0 163 0 250 2870 249 0 08 11 0 045 由 知空白栏中填5 由题意可知 12345 3 5 x 23257 3 8 5 y 5 1 122332455769 ii i x y 5 222222 1 1234555 i i x 根据公式 可求得 2 6953 3 812 1 2 555 310 b 3 8 1 2 30 2a 即回归直线的方程为1 2 2 0yx 18 错误 未找到引用 错误 未找到引用 错误 未找到引用 当 错误 未找到引用 即 错误 未找到引用 时 错误 未找到引用 有最小值为 错误 未找到引用 当错误 未找到引用 即 错误 未找到引用 时 错误 未找到引用 有最大值为 错误 未找到引用 错误 未找到引用 错误 未找到引用 错误 未找到引用 与向量 错误 未找到引用 共线错误 未找到引用 由正弦定理 错误 未找到引用 得错误 未找到引用 错误 未找到引用 由余弦定 理可得 错误 未找到引用 联立可得 错误 未找到引用 19 1 证明 取BC的中点M 连接DM 3BGCG G为CM的中点 又F为CD的中点 FGDM 依题意可知 DEBM 则四边形 DMBE 为平行四边形 BEDM 从而 BEFG 又FG平面 1 A FG BE 平面1 A FG BE平面 1 A FG 2 1 DEADDEDCQ 且 1 A DDCDI DE平面ADC 1 A F 平面ADC 1 DEA F 1 A FDCQ 且DEDCD 1 A F平面BCDE 以F为原点 FC 所在直线为x轴 过F作平行于CB的直线为y轴 1 FA所在直线为轴 建 立空间直角坐标系Fxyz 不妨设2CD 则0 0 0F 1 0 0 3A 1 4 0B 1 2 0E 1 1 0G 1 0 0 3FA uu u r 1 1 0FG u uu r 1 1 2 3A E uuur 2 2 0EB uuu r 设平面 1 A FG的法向量为 1111 nx y z u r 则 1 0 0 n FA n FG uuu v v uuu v v 即 1 11 30 0 z xy 令 1 1x 得1 1 0n r 设平面 1 A BE的法向量为 222 mxyz u r 则 1 0 0 m A E m EB uu uv v uu u v v 即 222 22 230 220 xyz xy 令 2 1x 得1 1 3m u r 从而 1 110 cos 525 m n u r r 故平面 1 A FG与平面 1 A BE所成锐二面角的余弦值为 10 5 20 1 设动圆 M 的半径为 由已知得 1 1 2 MFr 2 7 2 MFr 1212 4MFMFF F M 点的轨迹是以 1 F 2 F为焦点的椭圆 设椭圆方程 22 22 1 xy ab 0ab 则 2a 1c 则 222 3bac 方程为 22 1 43 xy 2 解法一 设 00 P xy 由已知得 1 2 0 A 2 2 0A 则 1 0 0 2 PA y k x 2 0 0 2 PA y k x 直线 1 PA的方程为 1 0 0 2 2 PA y lyx x 直线 2 PA的方程为 2 0 0 2 2 PA y lyx x 当6x时 6 0 D 00 00 662662 22 yy EF xx 2 000 2 000 62622 224 yyy DEDF xxx 又 00 P xy 满足 22 00 1 43 xy 2 0 2 0 3 44 y x 33 2 42 DEDF为定值 解法二 由已知得 1 2 0 A 22 0 A 设直线 1 PA的斜率为 1 k 直线2 PA 的斜率为2 k 由 已知得 1 k 2 k存在且不为零 直线 1 PA的方程为 1 2 ykx 直线 2 PA的方程为 2 2 ykx 当 6x 时 6 0 D 12 662662EkFk 1212 62622DEDFkkk k 联立直线 1 PA和直线 2 PA的方程 可得P点坐标为 121 2 2121 2 4 kk k k kkkk 将P点坐标代入椭圆方程 22 3412xy中 得 2 22 12 12 22 2121 4 16 3412 kk k k kkkk 即 2222 121221 12 6412 kkk kkk 整理得 1212 34 0k kk k 12 0k k 12 3 4 k k 12 33 22 42 DEDFk k为定值 21 解 1 2 x b axf 依题意有 2 1 0 1 baf baf 分21 1 ba 2 由 1 知 xm x xmxgln 1 1 2 分3 1 2 x mxmx xg 故函数 xg 在 1 的单调性为 当分 的递减区间为时 41 0 xgm 当 分递增区