唐山市 2019 2020 学年度高三年级第一学期期末考试 文科数学参考答案 一 选择题 A 卷 ADCBC BDADA AD B 卷 ADDBC BCADA AD 二 填空题 13 3 14 3 15 4 16 2 15 三 解答题 17 解 1 设 an 的公差为 d 则 a1 a2 a3 3a1 3d 9 则 a1 d 3 因为 bn 是等比数列 且 b1 a2 b2 a5 b3 a11 所以 a1 d a1 10d a1 4d 2 化简得 a1d 2d2 因为 d 0 所以 a1 2d 由 解得 a1 2 d 1 故 an a1 n 1 d n 1 6 分 2 由 1 得 b1 a2 3 b2 a5 6 设公比为q 则 q 2 故 bn 3 2n 1 则 Tn b1 bnq 1 q 3 3 2 n 1 2 3 2n 3 12 分 18 解 1 依题意可得列联表 选择物理不选择物理合计 男300 125 425 女300 175 475 合计600 300 900 2 分 将列联表中的数据代入公式计算得 k n ad bc 2 a b c d a c b d 900 300 175 300 125 2 600 300 425 475 5 573 6 635 4 分 所以 不能在犯错误概率不超过0 01 的前提下认为 选择物理与学生的性别有关 6 分 2 该学校选择 史地化 组合的男生 女生的比为2 3 所以从选择 史地化 组合的 同学中按性别用分层抽样的方式抽取5 名同学 其中男生2 名 女生3 名 记男生分别为 A1 A2 女生分别为B1 B2 B3 从 5 名同学中随机抽取3 名同学共有 A1 A2 B1 A1 A2 B2 A1 A2 B3 A1 B1 B2 A1 B1 B3 A1 B2 B3 A2 B1 B2 A2 B1 B3 A2 B2 B3 B1 B2 B3 10 种等可能的结果 其中 恰有一名男生包含 A1 B1 B2 A1 B1 B3 A1 B2 B3 A2 B1 B2 A2 B1 B3 A2 B2 B3 6 种等可能的结果 所以恰有1 名男生的概率P 6 10 3 5 12 分 19 解 1 因为 AB 是圆的直径 所以 BC AC 因为 PC 垂直圆所在的平面 所以 PC BC 又因为 AC PC C 所以 BC 平面 P AC 因为 D E 分别是棱PB PC 的中点 所以 BC DE 从而有 DE 平面 PAC 4 分 2 同理可知AC 平面 PBC 又 AC平面 ACD 则平面 PBC 平面 ACD 过 E 引 CD 的垂线 垂足为O 则 EO 平面 ACD 所以 EO 长度即为点E 到平面 ACD 的距离 8 分 由已知及AB PC 2 AC 1 可得 BC 2DE 3 CE 1 在直角 CED 中 CD 7 2 则 EO CE DE CD 21 7 所以点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 12 分 20 解 1 由题意得F 1 0 设 l x my 1 代入 y2 4x 得 y 2 4my 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4m y1y2 4 则 4m 4 解得 m 1 所以直线l 的方程为 x y 1 0 4 分 2 设直线 PA PB PC 的斜率分别为k1 k2 k3 由题意可解得C 1 2 m k3 2 m 2 1 1 1 m 1 6 分 而 k1 k2 y1 2 x1 1 y2 2 x2 1 y1 2 my1 y 2 2 my2 2 m 2 m 1 y1 1 y2 2 m 2 y1 y2 my1y2 B P A E D C O 2 m 2 10 分 则 k1 k2 2k3 所以 直线PA PC PB 的斜率成等差数列 12 分 21 解 1 g x f x x 2 1 cosx 所以 g x 1 2 sin x 2 分 由 g x 0 且 x 0 2 得 x 6 或5 6 当 x 变化时 g x 和 g x 的变化情况如下表 x 0 6 6 6 5 6 5 6 5 6 2 g x 0 0 g x 极大值 极小值 5 分 所以 g x 的单调递减区间为 6 5 6 g x 的单调递增区间为 0 6 5 6 2 6 分 2 由 1 得 当x 0 2 时 f x 的极小值f 5 6 f 2 2 0 极大值 f 6 f 0 0 又 f 2 0 所以存在x1 6 5 6 x2 5 6 2 使得f x1 f x2 0 且当 x变化时 f x 和 f x 的变化情况如下表 x 0 x1 x1 x1 x2 x2 x2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 8 分 从而 f x1 f 0 0 f x2 f 2 4 0 又 f 2 2 2 0 所以 f x 在 0 2 内各有一零点 又f 0 0 所以 f x 在 0 2 内有 3 个零点 10 分 当 x 0 时 f x 0 f x 单调递减 所以f x f 0 0 所以 f x 在 0 上没有零点 当 x 2 时 f x 2 2 sin x 2 2 1 0 所以 f x 在 2 上没有零点 综上 f x 在 R 上仅有三个零点 12 分 22 解 1 因为 x2 y2 2 x cos y sin 所以圆 C 2cos 直线 l sin 2 4 分 2 设 A A B B 2 2 依题意可得 A 2cos Bsin 2 Bcos A 所以 2cos sin 2cos 从而 cos sin cos cos2 sin cos 所以 tan 1 cos sin cos2 tan2 tan 1 tan 1 2 2 3 4 所以 tan 1 2 时 tan 取得最小值 3 4 10 分 23 解 1 因为 2 a 1 b 2a b 2b a 2a b 5 9 又 2a b 3 故此 2 a 1 b 3 当且仅当 b a a b 即 a b 1 时等号成立 4 分 2 因为 2a b c d 2ac bd bc 2ad 2ac bd 22acbd 2ac bd 2 所以2ac bd 3 当且仅当bc 2ad 时等号成立 此时 2a c b d 2a b c d 3 故当 a c 3 2 时 2ac bd取得最大值 10 分 注 试题有其他解法 参照答案赋分