邢台一中 2015 2016 学年上学期第四次月考 高二年级数学试题 理科 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有 一项符合题目要求 1 抛物线 2 yx的准线方程是 A 410yB 4 10 x C 210yD 2 10 x 2 若抛物线pxy2 2 的焦点与椭圆1 26 22 yx 的右焦点重合 则p的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 3 如果方程2 22 kyx表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 4 1a 是 函数 2 1 f xx在区间 a上为增函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 曲线 22 1 6 106 xy m mm 与曲线 22 1 59 xy mm 95 m的 A 焦距相等 B 离心率相等 C 焦点相同 D 顶点相同 6 若椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 则双曲线1 2 2 2 2 b x a y 的渐近线方程为 A 2yxB 1 2 yxC 4yxD 1 4 yx 7 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若 2 1x 则1x 的否命题为 若 2 1x 则1x B 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 若一个数的平方不是正数 则 它 不是负数 C 命题 若xy 则sinsinxy 的逆否命题为真命题 D 命题 xR使得 2 10 xx 的否定是 xR均有 2 10 xx 8 已知直线l yxm mR 若以点 2 0 M为圆心的圆与直线l相切于点P 且P在y 轴 上 则该圆的方程为 A 22 2 8xyB 4 2 22 yx C 22 2 8xyD 4 2 22 yx 9 设OABC是正三棱锥 1 G是ABC的重心 G是 1 OG上的一点 且 1 3OGGG 若 OGxOAyOBzOC uuu ruuu ruu u ruuu r 则 x y z为 A 1 1 1 4 4 4 B 3 3 3 4 4 4 C 1 1 1 3 3 3 D 2 2 2 3 3 3 10 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中 点NM 分别在线段 11 BC AB上 且BNAM 给出以下结论 MNAA1 异面直线 11 BC AB所成的角为60 四面体CADB 11 的体积为 1 3 1111 BCCAABCA 其中正确的结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 11 一个正三棱锥 底面为正三角形 顶点在底面上的射影为底面的中心 的四个顶点都在半径为 1的球面上 其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上 则该正三棱锥的体积是 A 3 12 B 3 4 C 3 3 D 3 3 4 12 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为F 若过点F且倾斜角为60 的直线与双曲 线 的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 第 II卷 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 把答案填写在题中横线上 13 抛物线 2 yx上的点到直线4380 xy距离的最小值是 14 在平面直角坐标系xOy中 已知ABC 的顶点 4 0 A 和 4 0 C 顶点B在双曲线 1 79 22 yx 上 则 B CA sin sinsin 15 已知点5 0A 1 3B 若圆 222 0 xyrr 上共有四个点QPNM 使得 MAB NAB PAB QAB的面积均为 5 则r的取值范围是 16 现有一个由长半轴为 2 短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转 180 所形成的 橄榄球 面 已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面 则这个圆柱的侧面积的最大值是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知以点 2 1 C为圆心的圆与直线01yx相切 1 求 圆C的标准方程 2 求过圆内一点 2 5 2 P的最短弦所在直线的方程 18 12分 已知点F是抛物线 2 Cyx的焦点 点S是抛物线C上在第一象限内的一点 且 5 4 SF 以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A B 延长 SA SB分别交抛物线C于 M N 两点 1 当2AB时 求圆S的方程 2 证明直线MN的斜率为定值 19 12分如图 四棱锥PABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 1AP 2AD E为线段PD上一点 记 PE PD 当 1 2 时 二面角DAEC的平面角的余弦值为 2 3 1 求AB的长 2 当 2 3 时 求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值 20 12分 如图 直角梯形 ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直 AB CD BCAB BCCDAB22 EAEB 1 求证 ABDE 2 求直线EC与平面ABE所成角的正弦值 3 线段EA上是否存在点F 使EC 平面FBD 若存在 求出 EF EA 若不存在 说明理由 21 12分 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2 0 右顶点为 0 3 1 求双曲线C的方程 2 若直线2 kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和 B 且2OBOA 其中 O为原点 求 k 的取值范围 22 12分 已知两定点 6 0 6 0 MN 动点P满足0PMPN uuu u r uu u r 由点P向x轴作垂线 PQ 垂足为Q 点R满足 31 PRRQ uuu ruuu r 点R的轨迹为 C 1 求曲线C的方程 2 直线l与x轴交于点E 与曲线C交于A B两点 是否存在点E 使得 22 11 EAEB 为 定值 若存在 请指出点E的坐标 并求出该定值 若不存在 请说明理由 高二年级数学 理科 答案 一 选择题 ADDA A ACAAD BC 二 填空题 E C A B D P 13 4 3 14 4 3 15 5 16 4 三 解答题 17 解 1 圆的半径r 所以圆的方程为 5 分 2 01324yx 10 分 18 解 1 设 00 S xy 0 0y 由已知得 1 0 4 F 则 0 15 44 SFx 得 0 1x 0 1y 点 1 1 S 4 分 设圆S的半径为r 则 221 1 2 2 rAB 故圆S的方程为 22 1 1 2xy 6 分 2 设直线 SA的方程为1 1 yk x 0k 11 Mx y 22 N xy 由 2 1 1 yk x yx 得 2 10kyyk 解得 1 1 1y k 2 2 1 1 1 k M kk 8 分 由已知SASB 直线SB的斜率为k 2 2 1 1 1 k N kk 10 分 22 22 11 11 1 1 1 2 MN kk k kk kk 即直线MN的斜率为定值 1 2 12 分 19 解 1 1 因为PA 平面ABCD ABCD为矩形 所以 AB AD AP两两垂直 如图 以 A为坐标原点 AB AD AP的方向为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系A xyz 则D 0 2 0 E 1 0 1 2 1 0 1 2 AE uu u r 设B m 0 0 m 0 则C m 2 0 AC m 2 0 设n1 x y z 为平面ACE的法向量 则 n1 AC 0 n1 AE 0 即 20 1 0 2 mxy yz 可取n1 2 1 2 m 4 分 又n2 1 0 0 为平面DAE的法向量 4 分 由题设易知 cos n1 n2 2 3 即 2 22 3 45m 解得m 1 即AB 1 7 分 2 易得 4 1 0 01 10 0 12 0 0 3 3 PBCE 2 1 1 01 1 3 3 BPCE uuu ru uu r 14 1 33 BP CE uuu r uu u r 14 2 3 BPCE uuu ruuu r 10 分 4 2 7 3 cos 714 2 3 BP CE BP CE BPCE uu u r uu u r uuu r u uu r uuu ru uu r 所以异面直线 BP与直线CE所成角的余弦值为 2 7 7 12 分 20 解法一 取AB中点O 连结EO DO 因为EAEB 所以ABEO 因为四边形ABCD为直角梯形 BCCDAB22 BCAB 所 以 四 边 形OBCD为 正 方 形 所 以 ODAB 又OODEO 由 可知AB平面EOD 所以EDAB 4 分 2 因为平面ABE平面ABCD 且CBAB CB平面EAB 故CEB就是直线EC与平面ABE所成的角 不妨设1BC 则22ABEB 3CE 3 sin 3 CB CEB CE 故直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 3 3 8分 3 存在点F 且 1 3 EF EA 时 有EC 平面FBD 证明如下 连结AC交BD于M 由AB CD 易证 MAB与MCD相似 2 1 AB CD AM CM 若线段EA上存在点F 使EC 平面FBD 则FMEC 由平行线分线段成比例 得 3 1 CA CM EA EF 12分 解法二 1 同解法一 2 因为平面ABE平面ABCD 且ABEO 所以EO平面 ABCD 所以ODEO 由OEODOB 两两垂直 建立如图所示的空间直角 坐标系xyzO 因为三角形 EAB为等腰直角三角形 所以OEODOBOA 设 1OB 所以 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 OABCDE 所以 1 1 1 EC 平面 ABE的一个法向量为 0 1 0 OD u uu r 设直线EC与平面 ABE所成的角为 所以 3 sin cos 3 EC OD EC OD ECOD uuu r uu u r u uu r uuu r u uu ru uu r 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 3 3 8 分 3 存在点F 且 1 3 EF EA 时 有EC 平面FBD 证明如下 由 3 1 0 3 1 3 1 EAEF 3 2 0 3 1 F 所以 3 2 0 3 4 FB 设平面 FBD的法向量为 v cba 则有 0 0 BD FB uuu r uuu r v v 所以 0 42 0 33 ab az 取 1a 得 2 1 1 v 因 为ECv0 2 1 1 1 1 1 且EC平 面FBD 所 以EC 平 面 FBD 即点F满足 1 3 EF EA 时 有EC 平面FBD 12 分 21 解 设双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 由已知 得 1 2 2 3 2222 bbaca得再由 故双曲线C的方程为 1 3 2 2 y x 4分 将得代入1 3 2 2 2 y x kxy 0926 31 22 kxxk 由直线l与双曲线交于不同的两点得 0 1 36 31 36 26 031 222 2 kkk k 即 1 3 1 22 kk且 设 BBAA yxByxA 则 22 629 1313 ABAB k xxx x kk 8分 22 ABAB OA OBx xy y uuu r uuu r 由得 而2 2 1 2 2 2 BABABABABABAxxkxxkkxkxxxyyxx 13 73 2 31 26 2 31 9 1 2 2 22 2 k k k k k k k 于是 2 2 37 2 31 k k 即 2 2 39 0 31 k k 解得 3 3 1 2 k 由 得 1 3 12 k 故k的取值范围为 1 3 3 3 3 1 12分 22 解 1 易知点 P的轨迹方程为 22 6xy 设 R x y 则由 31 PRRQ uu u ruu u r 可得 3 P xy 代入 22 6xy得 22 3 6xy 即 22 1 62 xy 这就是曲线C的方程 5分 2 假设存在点E 使得 22 11 EAEB 为定值 设 0 0 E x 当直线AB与x轴重合时 有 2 0 222222 0 00 1221111 6 6 6 x EAEBx xx 当直线 A