3.3导数与函数极值和最值A组基础题组1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是() A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+2x答案DA选项中,函数y=x3单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函数,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x(aR)的导函数是f (x),若f (x)是偶函数,则以下结论正确的是()A.y=f(x)的极大值为1B.y=f(x)的极大值为-2C.y=f(x)的极小值为2D.y=f(x)的极小值为-2答案D由题意可得, f (x)=3x2+2ax+a-3,f (x)是偶函数,f (-x)=f (x),a=0,f(x)=x3-3x, f (x)=3x2-3,易知f(x)在x=-1处取极大值2,在x=1处取极小值-2,故选D.3.有一个10 cm16 cm的矩形纸板,四个角各被截去了一个大小相同的小正方形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A.12 cm3B.72 cm3C.144 cm3D.160 cm3答案C设盒子的容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y=12x2-104x+160.令y=0,得x=2或x=203(舍去).当x0,当x2时,y0,所以当x=2时,ymax=6122=144.故盒子容积的最大值为144 cm3.4.函数y=f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D不妨设导函数y=f (x)的零点依次为x1,x2,x3,其中x10x20,排除B,故选D.5.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.-5,0)B.(-5,0)C.-3,0)D.(-3,0)答案C由题意知, f (x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3,则结合图象可知,-3a0,解得a-3,0).6.函数f(x)=xsin x+cos x在6,上的最大值为.答案2解析因为f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以f (x)=0在x6,上的解为x=2.易知f(x)在6,2上单调递增,在2,上单调递减,所以函数f(x)=xsin x+cos x在6,上的最大值为f2=2.7.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.答案9解析y=-x2+81,令y=0,得x=9或x=-9(舍去).当0x0,函数单调递增;当x9时,y0),令f (x)=0,得x=12或x=1,当x12,1时, f (x)0,所以f(x)在区间12,1上单调递减,在区间1,2上单调递增,所以当x=1时, f(x)在区间12,2上取得极小值,也为最小值,最小值为-2.10.已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,aR.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.解析(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,则f(1)=1,切点为(1,1),又f (x)=1x+1,切线斜率k=f (1)=2,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax2+(1-a)x+1(x0),则g(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1-a)x+1x,当a0时,x0,g(x)0,g(x)在(0,+)上是增函数,此时函数g(x)无极值点.当a0时,g(x)=-ax2+(1-a)x+1x=-ax-1a(x+1)x,令g(x)=0得x=1a.当x0,1a时,g(x)0;当x1a,+时,g(x)0时,函数g(x)有极大值12a-ln a,无极小值.11.已知函数f(x)=x3+|x-a|(aR).(1)当a=1时,求f(x)在(0, f(0)处的切线方程;(2)当a(0,1)时,求f(x)在区间-1,1上的最小值(用a表示).解析(1) 当a=1,x1时, f(x)=x3+1-x, f (x)=3x2-1,所以f(0)=1, f (0)=-1,所以f(x)在(0, f(0)处的切线方程为y=-x+1.(2) 当a(0,1)时,由已知得f(x)=x3+x-a,ax1,x3-x+a,-1x0,知f(x)在a,1上单调递增.当-1x0时,求f(x)的最小值g(a)的最大值;(3)设h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x1,+),求证:h(x)2.解析(1) 函数f(x)在(0,2)上递减x(0,2), f (x)0恒成立x(0,2), f (x)=ax-2x20恒成立x(0,2),a2x恒成立,又2x1,所以a1.(2)当a0时,令f (x)=ax-2x2=0,得x=2a.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x0,2a2a2a,+f (x)-0+f(x)极小值故g(a)=f2a=a+aln2a.g (a)=ln 2-ln a,令g (a)=0,得a=2.当a变化时,g (a),g(a)的变化情况如下表:a(0,2)2(2,+)g (a)+0-g(x)极大值故g(a)的最大值为g(2)=2.(3)证明: 当a2时,h(x)=f(x)+(a-2)x=2x+aln x+(a-2)x,故h(x)=ax-2x2+a-20,所以h(x)在1,+)上是增函数,故h(x)h(1)=a2;当a2时,h(x)=f(x)-(a-2)x=2x+aln x-(a-2)x,h(x)=ax-2x2-a+2=(2-a)x+2(x-1)x2=0,解得x=-22-a2.综上所述,h(x)2.B组提升题组1.已知函数f(x)=exx2-k2x+lnx,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围是() A.(-,eB.0,eC.(-,e)D.0,e)答案Af (x)=x2ex-2xexx4-k-2x2+1x=(x-2)exx-kx2(x0).设g(x)=exx,则 g(x)=(x-1)exx2,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.g(x)在(0,+)上有最小值g(1),g(1)=e,结合g(x)=exx与y=k的图象可知,要满足题意,只需ke,故选A.2.已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a=,此时函数y=f(x)在0,1上的最小值为.答案-12;2327解析由题易知f (x)=3x2+4ax,且f (x)=1,则a=-12,故f(x)=x3-x2+1.此时f (x)=3x2-2x=3xx-23,所以f(x)在0,23上单调递减,在23,1上单调递增,所以f(x)min=f23=2327.3.(2018浙江宁波模拟)设函数f(x)=x2-ax-ln x,aR.(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)当a-1时,记f(x)的极小值为H,求H的最大值.解析(1)因为函数f(x)=x2-ax-ln x,aR,所以f (x)=2x2-ax-1x(x0),由题意知f (1)=1,2-a-1=1,解得a=0.(2)设f (x0)=0,则2x02-ax0-1=0,则x0=a+a2+84(舍负),所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,则H=f(x)极小值=f(x0)=x02-ax0-ln x0=-x02+1-ln x0,设g(a)=a+a2+84(a-1),当a0时,g(a)为增函数,当-1a0时,g(a)=2a2+8-a,此时g(a)为增函数,所以x0g(-1)=12,设y=-x2+1-ln x,因为函数y=-x2+1-ln x在12,+上为减函数,所以H的最大值为34+ln 2.4.(2018福建厦门外国语中学月考)