第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.已知曲线y=x24-3ln x的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12答案A由题意知y=x2-3x=12(x0),解得x=3,即切点的横坐标为3.2.已知函数f(x)的图象如图, f (x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A.0f (2)f (3)f(3)-f(2)B.0f (3)f (2)f(3)-f(2)C.0f (3)f(3)-f(2)f (2)D.0f(3)-f(2)f (2)f (3)答案Cf(3)-f(2)可写为f(3)-f(2)3-2,表示过点(2, f(2),(3, f(3)连线的斜率, f (2), f (3)分别表示曲线f(x)在点(2, f(2),(3, f(3)处切线的斜率,设过点(2, f(2),(3, f(3)的直线为m,曲线在点(2, f(2),(3, f(3)处的切线分别为l,n,画出它们的图象,如图:由图可知0knkmkl,故0f (3)f(3)-f(2)0,即4a2+4a+10,所以a-12.所以a的取值范围是-,-12-12,+.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.2答案C依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x解析当x0时,-x0),f (x)=ex-1+1(x0), f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.3.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f (-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解析(1)由已知得f (x)=3ax2+6x-6a,因为f (-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.理由如下:由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).因为g(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,由f (x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.由f (x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.5