第一节变化率与导数 导数的计算 1 导数的概念 2 基本初等函数的导数公式 3 导数的运算法则 教材研读 考点一导数的运算 考点二导数的几何意义 考点突破 1 导数的概念 1 函数y f x 在x x0处导数的定义称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或y 即f x0 教材研读 2 导数的几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点P x0 y0 处的 切线的斜率 相应地 切线方程为 y y0 f x0 x x0 3 函数f x 的导函数函数f x 为f x 的导函数 2 基本初等函数的导数公式 3 导数的运算法则 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 3 g x 0 1 下列求导运算正确的是 B A 1 B log2x C 3x 3xlog3eD x2cosx 2sinx 解析 x 1 3x 3xln3 x2cosx x2 cosx x2 cosx 2xcosx x2sinx 2 曲线y x3 1在点 1 0 处的切线方程为 B A 3x y 3 0B 3x y 3 0C 3x y 0D 3x y 3 0 解析 y x3 1 y 3x2 曲线y x3 1在点 1 0 处的切线的斜率为y x 1 3 切线方程为3x y 3 0 3 若f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 B A 4B 2C 2D 4 解析 f x ax4 bx2 c f x 4ax3 2bx 又f 1 2 4a 2b 2 f 1 4a 2b 2 4 2016北京东城期中 若曲线f x ax2 lnx在点 1 a 处的切线平行于x轴 则a 解析f x 2ax 则f 1 2a 1 由题意得2a 1 0 所以a 答案 5 如图 函数y f x 的图象在点P处的切线方程是y x 8 则f 5 f 5 解析由题意知f 5 1 f 5 5 8 3 f 5 f 5 3 1 2 答案2 6 若曲线f x xlnx在点P处的切线的斜率为2 则点P的坐标为 答案 e e 解析设切点P m n f x xlnx的导数为f x 1 lnx 在点P处的切线的斜率为1 lnm 2 解得m e 可得n mlnm elne e 点P的坐标为 e e 考点一导数的运算典例1求下列函数的导数 1 y x 2 y cos 3 y ex lnx 考点突破 解析 1 y x3 1 y 3x2 2 y cos cossin cos2 sinx 1 cosx sinx cosx y cosx sinx sin 3 y ex lnx ex ex 1 对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法则的应用 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在化简时 要注意变换的等价性 避免不必要的运算失误 方法技巧函数的求导原则 2 利用公式求导时 一定要注意公式的适用范围及符号 如 xn nxn 1中 n N cosx sinx 还要注意公式不要用混 如 ax axlna 而不是 ax xax 1 1 1已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 答案3 解析 f x 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex f 0 3 1 2求下列函数的导数 1 y 3x3 4x 2x 1 2 y 3 y exlnx 2x e 解法二 y 3x3 4x 2x 1 3x3 4x 2x 1 9x2 4 2x 1 3x3 4x 2 24x3 9x2 16x 4 2 y 3 y ex lnx ex lnx 2x 0 exlnx 2xln2 解析 1 解法一 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 考点二导数的几何意义命题方向一求切线方程典例2 1 2016北京东城期中 8 曲线f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 B A y 1B y C x y 1D x y 1 2 已知曲线y x3上一点P 则过点P的切线方程为3x 3y 2 0或12x 3y 16 0 解析 1 由题意得f x 故曲线f x 在点 1 f 1 处的切线斜率k f 1 0 易知切点为 所以切线方程为y 故选B 2 设切点坐标为 由y x2 得y 即过点P的切线斜率为 又切线过点P 若x0 2 则 解得x0 1 所以过点P的切线的斜率为1 若x0 2 则过点P的切线的斜率为4 故所求的切线方程是y x 2或y 4 x 2 即3x 3y 2 0或12x 3y 16 0 命题方向二求切点坐标典例3设曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y x 0 上点P处的切线垂直 则P的坐标为 答案 1 1 解析 函数y ex的导函数为y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 设P x0 y0 x0 0 函数y 的导函数为y 曲线y x 0 在点P处的切线的斜率k2 易知k1k2 1 即1 1 解得 1 x0 0 x0 1 又 点P在曲线y x 0 上 y0 1 故点P的坐标为 1 1 命题方向三求参数的值 范围 典例4 1 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a D A 0B 1C 2D 3 2 已知函数f x lnx ax 若曲线y f x 存在与直线2x y 0平行的切线 则实数a的取值范围是 解析 1 y a 当x 0时 y a 1 2 a 3 故选D 2 f x a x 0 曲线y f x 存在与直线2x y 0平行的切线 方程 a 2在区间 0 上有解 即a 2 在区间 0 上有解 a 2 若直线2x y 0与曲线y f x 相切 设切点为 x0 2x0 则解得x0 e a 2 综上 满足题意的实数a的取值范围是 易错警示求函数图象的切线方程的注意事项 1 首先应判断所给点是不是切点 如果不是 需将切点设出 2 切点既在函数的图象上 也在切线上 可将切点代入两者的解析式建立方程组 3 在切点处的导数值对应切线的斜率 这是求切线方程最重要的条件 4 曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点 如曲线y x3在 1 1 处的切线与曲线还有一个交点 2 8 2 1设a为实数 函数f x x3 ax2 a 3 x的导函数为f x 且f x 是偶函数 则曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 答案9x y 16 0 解析f x 3x2 2ax a 3 f x 是偶函数 a 0 f x x3 3x f x 3x2 3 f 2 8 6 2 f 2 9 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 2 9 x 2 即9x y 16 0 2 2曲线y x3 x2 x 1在点 0 1 处的切线方程是 答案y x 1 解析y 3x2 2x 1 所以y x 0 1 则切线的斜率k 1 故切线程为y x 1 2 3曲线f x ex在点 x0 f x0 处的切线经过点P 1 0 则x0 答案2 解析因为f x ex 所以f x0 所以f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y x x0 将点P 1 0 代入y x x0 解得x0 2