1.1.2 弧度制项目内容课题（共 1 课时）修改与创新教学目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制. 2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.教学准备多媒体课件教学过程导入新课 利用古代度量时间的一种仪器日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键. 在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.提出问题 问题:在初中几何里,我们学习过角的度量,1的角是怎样定义的呢? 问题:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1 活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB所对的圆心角AOB就是1弧度的角,即=1. 讨论结果:1的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.能,用弧度制.提出问题 问题:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系? 问题:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算? 活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以 “度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:完全重合,因为都是1弧度的角.=;将角度化为弧度:360=2 rad,1=rad0.017 45 rad,将弧度化为角度:2 rad=360,1 rad=()57.30=5718.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为 rad=(),n=n(rad).提出问题 问题:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 问题:填写下列的表格,找出某种规律.的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数r逆时针方向2r逆时针方向R12r-2-0180360 活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结. 由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一. 教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k360+或者2k+60一类的写法.在弧度制中,与角终边相同的角,连同角在内,可以写成=+2k(kZ)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.图2讨论结果:与角终边相同的角,连同角在内,可以写成=+2k(kZ)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=R,S=R2,S=lR.的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数r逆时针方向1802r逆时针方向2360R逆时针方向157.32r顺时针方向-2-114.6r顺时针方向-1800未旋转00r逆时针方向1802r逆时针方向2360应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位 活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.变式训练 下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是 rad B.周角的大小是2 C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案:D例2 将下列用弧度制表示的角化为2k+(kZ,0,2)的形式,并指出它们所在的象限:-;-20;-. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:=k,kZ,=k,kZ.第一、二、三、四象限角的集合分别为:2k2k+,kZ,2k+2k+,kZ,2k+2k+,kZ,2k+2k+2,kZ.解:=-4+,是第一象限角.=10+,是第二象限角.-20=-36.28-1.16,是第四象限角.-23-3.464,是第二象限角. 点评:在这类题中对于含有的弧度数表示的角,我们先将它化为2k+(kZ,0,2)的形式,再根据角终边所在的位置进行判断,对于不含有的弧度数表示的角,取=3.14,化为k6.28+,kZ,0,6.28)的形式,通过与,比较大小,估计出角所在的象限.变式训练 (1)把-1 480写成2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若-4,0),且与(1)中终边相同,求.解:(1)-1 480=-=-10+,0 2,-1 480=2(-5)+. (2)与终边相同,=2k+,kZ. 又-4,0),1=,2=.课堂小结 由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180= rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记. 重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业 课本习题1.1 A组6、8、10. 课后探究训练:课本习题1.1 B组题.板书设计教学反思