第3讲 函数的概念及表示法 1.理解函数的概念及与映射的联系与区别2.掌握函数的定义域和值域求解的常见类型3.掌握常见的函数表示方法4.熟练掌握分段函数及其应用写出本节课相关知识的重难点，至少有2条。1.函数的定义域是学习函数知识的基础2. 求抽象函数的定义域的关键是对应关系相同，作用对象范围相同3. 分段函数是一个函数先进行知识梳理，再匹配对应例题要求将本讲的知识点根据课堂节奏分模块讲解，讲解第一个知识点后配相关的例题，并进行小结；然后再讲第二个知识点配相关的例题并进行小结。备注：对于【精讲精练】这个模块，采取的形式是，一讲中至少有3个知识串讲，每个串讲后面有至少3道例题.函数的定义域一、函数的定义1、一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为AB从集合A到集合B的一个函数，记作 yf（x），xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域显然，值域是集合的子集注意：（1）值域由定义域和对应关系唯一确定；（2）f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积在不同的函数中f的具体含义不同，二、判断两个函数是否为同一函数函数的构成要素：定义域、对应关系、值域所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样注意：判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同三、函数的定义域及其求法1.定义函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.2. 求解函数定义域的常规方法（1）如果f(x)是整式，其定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；（3）如果f(x)是二次根式（或偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；（4）如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（5）如果的定义域是xR|x0;（6）实际问题要具体分析.3.抽象函数的定义域（1）对在同一对应法则f 下的量“x”“xa”“xa”所要满足的范围是一样的；（2）函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围例1. 下列两个变量之间的关系是函数关系的是（）A光照时间和果树产量B降雪量和交通事故发生率C人的年龄和身高D正方形的边长和面积【答案】D【解析】A中光照时间和果树产量是一种不确定的关系，即相关关系，故A不满足要求；B中降雪量和交通事故发生率是一种不确定的关系，即相关关系，故B不满足要求；C人的年龄和身高是一种不确定的关系，即相关关系，故C也不满足要求；D正方形的边长和面积是一种确定的关系，即函数关系，故D满足要求；故选D练习1. 下列说法中不正确的是（）A圆的面积是它的半径的函数B一汽车以平均每小时60千米的速度行驶，则路程是时间的函数C一个竖直截面为圆形的圆柱体储油罐，储油量是油面宽度的函数D炮弹发射后，飞行高度是时间的函数【答案】C【解析】A根据圆的面积公式得Sr2，所以是函数关系，正确B根据路程的公式得路程S60t，所以路程是时间的函数，正确C圆柱体的油面宽度为定值，所以储油量不是油面宽度的函数不正确D炮弹发射后，炮弹的飞行高度是时间的函数，正确故选C练习2. 已知Ax|0x4，By|0y2，下列对应法则中可以是从A至B的函数的有 f：xyf：xyf：xyxf：xy2x【答案】【解析】在f：xy中，对任意xAx|0x4，在By|0y2中都存在唯一的元素与之对应，满足函数的定义；f：xy中，对任意xAx|0x4，在By|0y2中都存在唯一的元素与之对应，满足函数的定义；f：xyx中，当2x4时，在By|0y2中没有元素与之对应，不满足函数的定义；f：xy2x中，当1x4时，在By|0y2中没有元素与之对应，不满足函数的定义；故可以是从A至B的函数的有故答案为：熟练掌握函数的概念及其构成要素，正确理解函数概念中A中元素的任意性和B中元素的唯一性是解答的关键例2. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）ABCD【答案】C【解析】由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选C练习1. 下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）ABCD【答案】B【解析】B中，当x0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B练习2. 下列图象中可作为函数yf（x）图象的是（）ABCD【答案】C【解析】函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线xc（cP）都只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线xc，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选C准确理解函数的定义与图象的对应关系是解决问题的关键,难度不大.例3. 以下四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x），g（x）x21Bf（x），g（x）x1Cf（x），g（x）（）2Df（x）|x|，g（t）【答案】D【解析】两个函数表示同一函数要满足：定义域相同、对应法则相同（当然值域也相同）经过判定：只有D满足要求：f（x）|x|，g（t）|t|，故选：D练习1. 下列函数中与函数yx是相同函数的是（）AByCD【答案】C【解析】对于A，yx（x0），与yx的定义域不同，不是同一函数；对于B，yx（x0），与yx的定义域不同，不是同一函数；对于C，yx（xR），与yx的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，y|x|（xR），与yx的对应关系不同，不是同一函数：；故选：C练习2. 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）ABCD【答案】C【解析】由于函数y1的定义域为R，而函数y的定义域为x|x0，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A由于函数的定义域为x|x1，而的定义域为x|1x 或x1，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B由于函数yx与函数 y具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数由于函数y|x|的定义域为R，而函数 y 的定义域为x|x0，这两个函数的定义域不同， 故不是同一个函数，故排除D故选C两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，且定义域和对应关系决定了值域.例4. 函数f（x）的定义域为（）Ax|x1Bx|x1|CxR|x0DxR|x1【答案】D【解析】要使原函数有意义，则需x10，即x1，所以原函数的定义域为xR|x1故选D练习1. 函数的定义域是（）ARBx|x0Cx|x0Dx|x0【答案】C【解析】函数的定义域是x|，解得x|x0故选C练习2. 函数的定义域为 【答案】2，1）（1，2【解析】要是原函数有意义，则需解得2x2，且x1，所以原函数的定义域为2，1）（1，2故答案为2，1）（1，2求解函数的定义域，是求构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合例5. 已知函数yf（x）定义域是2，3，则yf（2x1）的定义域是（）AB1，4CD5，5【答案】C【解析】函数yf（x）定义域是2，3，由22x13，解得x2，即函数的定义域为，2，故选：C练习1. 已知函数yf（x1）的定义域是2，3，则yf（x2）的定义域是（）A1，4B0，16C2，2D1，4【答案】C【解析】函数yf（x1）的定义域是2，3，即2x3，1x14，即函数yf（x）的定义域为1，4，由1x24，得2x2yf（x2）的定义域是2，2故选：C练习2. 函数f（x2）的定义域为（3，1，则函数f（x1）的定义域为（）A2，10）B1，10）C1，2D0，2【答案】B【解析】函数f（x2）的定义域为（3，1，f（x）的定义域是0，9），故f（x1）的定义域是1，10），故选：B函数的值域一、定义函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域A是函数的定义域二、求函数值域的常用方法（1）公式法：适用于一次函数、二次函数、反比例函数及以后要学的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.（2）图象法：适用于能画出图象的函数，如，.（3）不等式性质法（包含观察法、配方法、分离常数法、有界法）：适用于解析式中只出现“一个”或通过变形化成只能出现“一个”函数，如：，等.（4）换元法：适用于无理式中含有自变量的函数，如等.（5）判别式：适用于形如（，不全为零且分式不可约）的函数.（6）方程思想（包括判别式法、反解法）：适用于可解出的解析式函数，如等.例6. 函数yx22x的定义域为0，1，2，3，那么其值域为（）A1，0，3B0，1，2，3Cy|1y3Dy|0y3【答案】A【解析】当x0时，y0当x1时，y121当x2时，y4220当x3时，y9233函数yx22x的值域为1，0，3故答案选A练习1. 函数f（x）x1，x1，1，2的值域是（）A0，2，3B0y3C0，2，3D0，3【答案】C【解析】f（x）x1，x1，1，2当x1时，f（1）0当x1时，f（1）2当x2时，f（2）3函数f（x）x1，x1，1，2的值域是0，2，3故选C练习2. 函数f（x）2x1，x1，1，则f（x）的值域为（）A3，1）B（3，1C3，1D3，1【答案】D【解析】f（1）213，f（1）211所以该函数的值域